Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58830 / 37790
↖ ↑ ↗
← N 60.373144°
W 18.418579°		 ← 150.99 m → N 60.373144°
W 18.415832°		 →
↑
150.93 m
↓
↑
150.93 m
↓
N 60.371787°
W 18.418579°		 ← 150.99 m →
22 789 m²		 N 60.371787°
W 18.415832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448841094970703 y=0.288318634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448841094970703 × 217)
    floor (0.448841094970703 × 131072)
    floor (58830.5)     		tx = 58830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288318634033203 × 217)
    floor (0.288318634033203 × 131072)
    floor (37790.5)     		ty = 37790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58830 / 37790 ti = "17/58830/37790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58830/37790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58830 ÷ 217
    58830 ÷ 131072     		x = 0.448837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37790 ÷ 217
    37790 ÷ 131072     		y = 0.288314819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448837280273438 × 2 - 1) × π
    -0.102325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32146485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288314819335938 × 2 - 1) × π
    0.423370361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33005721685808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32146485} λ = -0.32146485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33005721685808))-π/2
    2×atan(3.78125973318092)-π/2
    2×1.31225324053914-π/2
    2.62450648107828-1.57079632675     		φ = 1.05371015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32146485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.418579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05371015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.373144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58830 KachelY 37790 -0.32146485 1.05371015 -18.418579 60.373144
    Oben rechts KachelX + 1 58831 KachelY 37790 -0.32141691 1.05371015 -18.415832 60.373144
    Unten links KachelX 58830 KachelY + 1 37791 -0.32146485 1.05368646 -18.418579 60.371787
    Unten rechts KachelX + 1 58831 KachelY + 1 37791 -0.32141691 1.05368646 -18.415832 60.371787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05371015-1.05368646) × R
    2.36899999999096e-05 × 6371000     		dl = 150.928989999424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05371015-1.05368646) × R
    2.36899999999096e-05 × 6371000     		dr = 150.928989999424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32146485--0.32141691) × cos(1.05371015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.494349360412841 × 6371000     		do = 150.987019222695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32146485--0.32141691) × cos(1.05368646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.49436995312204 × 6371000     		du = 150.99330876614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05371015)-sin(1.05368646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494349360412841-0.49436995312204)×R²
    abs(-0.32141691--0.32146485)×2.05927091990743e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05927091990743e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05927091990743e-05×40589641000000     		ar = 22788.792952625m²