Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5883 / 6910
↖ ↑ ↗
← N 27.098254°
W 50.734863°		 ← 2 175.07 m → N 27.098254°
W 50.712890°		 →
↑
2 175.25 m
↓
↑
2 175.25 m
↓
N 27.078691°
W 50.734863°		 ← 2 175.45 m →
4 731 739 m²		 N 27.078691°
W 50.712890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359100341796875 y=0.421783447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359100341796875 × 214)
    floor (0.359100341796875 × 16384)
    floor (5883.5)     		tx = 5883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421783447265625 × 214)
    floor (0.421783447265625 × 16384)
    floor (6910.5)     		ty = 6910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5883 / 6910 ti = "14/5883/6910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5883/6910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5883 ÷ 214
    5883 ÷ 16384     		x = 0.35906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6910 ÷ 214
    6910 ÷ 16384     		y = 0.4217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.2818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88549041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4217529296875 × 2 - 1) × π
    0.156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.491640842503296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88549041} λ = -0.88549041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491640842503296))-π/2
    2×atan(1.63499679238507)-π/2
    2×1.02187503949295-π/2
    2.04375007898591-1.57079632675     		φ = 0.47295375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88549041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47295375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.098254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5883 KachelY 6910 -0.88549041 0.47295375 -50.734863 27.098254
    Oben rechts KachelX + 1 5884 KachelY 6910 -0.88510691 0.47295375 -50.712890 27.098254
    Unten links KachelX 5883 KachelY + 1 6911 -0.88549041 0.47261232 -50.734863 27.078691
    Unten rechts KachelX + 1 5884 KachelY + 1 6911 -0.88510691 0.47261232 -50.712890 27.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47295375-0.47261232) × R
    0.000341430000000031 × 6371000     		dl = 2175.2505300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47295375-0.47261232) × R
    0.000341430000000031 × 6371000     		dr = 2175.2505300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88549041--0.88510691) × cos(0.47295375) × R
    0.000383499999999981 × 0.890226687972137 × 6371000     		do = 2175.07172684842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88549041--0.88510691) × cos(0.47261232) × R
    0.000383499999999981 × 0.890382163514449 × 6371000     		du = 2175.45159689823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47295375)-sin(0.47261232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890226687972137-0.890382163514449)×R²
    abs(-0.88510691--0.88549041)×0.000155475542311323×R²
    0.000383499999999981×0.000155475542311323×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155475542311323×40589641000000     		ar = 4731739.12884574m²