Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58828 / 37835
↖ ↑ ↗
← N 60.311987°
W 18.424072°		 ← 151.24 m → N 60.311987°
W 18.421326°		 →
↑
151.25 m
↓
↑
151.25 m
↓
N 60.310627°
W 18.424072°		 ← 151.25 m →
22 875 m²		 N 60.310627°
W 18.421326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448825836181641 y=0.288661956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448825836181641 × 217)
    floor (0.448825836181641 × 131072)
    floor (58828.5)     		tx = 58828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288661956787109 × 217)
    floor (0.288661956787109 × 131072)
    floor (37835.5)     		ty = 37835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58828 / 37835 ti = "17/58828/37835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58828/37835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58828 ÷ 217
    58828 ÷ 131072     		x = 0.448822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37835 ÷ 217
    37835 ÷ 131072     		y = 0.288658142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288658142089844 × 2 - 1) × π
    0.422683715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.32790005637518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32156072} λ = -0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32790005637518))-π/2
    2×atan(3.77311174053241)-π/2
    2×1.31171954497114-π/2
    2.62343908994228-1.57079632675     		φ = 1.05264276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05264276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.311987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58828 KachelY 37835 -0.32156072 1.05264276 -18.424072 60.311987
    Oben rechts KachelX + 1 58829 KachelY 37835 -0.32151279 1.05264276 -18.421326 60.311987
    Unten links KachelX 58828 KachelY + 1 37836 -0.32156072 1.05261902 -18.424072 60.310627
    Unten rechts KachelX + 1 58829 KachelY + 1 37836 -0.32151279 1.05261902 -18.421326 60.310627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05264276-1.05261902) × R
    2.37399999998278e-05 × 6371000     		dl = 151.247539998903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05264276-1.05261902) × R
    2.37399999998278e-05 × 6371000     		dr = 151.247539998903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32156072--0.32151279) × cos(1.05264276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.495276921594495 × 6371000     		do = 151.238766190338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32156072--0.32151279) × cos(1.05261902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.495297545227525 × 6371000     		du = 151.245063864787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05264276)-sin(1.05261902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495276921594495-0.495297545227525)×R²
    abs(-0.32151279--0.32156072)×2.06236330307918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06236330307918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06236330307918e-05×40589641000000     		ar = 22874.9675936751m²