Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58827 / 37783
↖ ↑ ↗
← N 60.382648°
W 18.426819°		 ← 150.94 m → N 60.382648°
W 18.424072°		 →
↑
150.93 m
↓
↑
150.93 m
↓
N 60.381290°
W 18.426819°		 ← 150.95 m →
22 782 m²		 N 60.381290°
W 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448818206787109 y=0.288265228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448818206787109 × 217)
    floor (0.448818206787109 × 131072)
    floor (58827.5)     		tx = 58827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288265228271484 × 217)
    floor (0.288265228271484 × 131072)
    floor (37783.5)     		ty = 37783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58827 / 37783 ti = "17/58827/37783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58827/37783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58827 ÷ 217
    58827 ÷ 131072     		x = 0.448814392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37783 ÷ 217
    37783 ÷ 131072     		y = 0.288261413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448814392089844 × 2 - 1) × π
    -0.102371215820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32160866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288261413574219 × 2 - 1) × π
    0.423477172851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.33039277515542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32160866} λ = -0.32160866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33039277515542))-π/2
    2×atan(3.78252877916634)-π/2
    2×1.31233616995761-π/2
    2.62467233991521-1.57079632675     		φ = 1.05387601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32160866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.426819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05387601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.382648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58827 KachelY 37783 -0.32160866 1.05387601 -18.426819 60.382648
    Oben rechts KachelX + 1 58828 KachelY 37783 -0.32156072 1.05387601 -18.424072 60.382648
    Unten links KachelX 58827 KachelY + 1 37784 -0.32160866 1.05385232 -18.426819 60.381290
    Unten rechts KachelX + 1 58828 KachelY + 1 37784 -0.32156072 1.05385232 -18.424072 60.381290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05387601-1.05385232) × R
    2.36899999999096e-05 × 6371000     		dl = 150.928989999424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05387601-1.05385232) × R
    2.36899999999096e-05 × 6371000     		dr = 150.928989999424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32160866--0.32156072) × cos(1.05387601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.494205177600505 × 6371000     		do = 150.942982080367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32160866--0.32156072) × cos(1.05385232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.49422577225187 × 6371000     		du = 150.949272217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05387601)-sin(1.05385232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494205177600505-0.49422577225187)×R²
    abs(-0.32156072--0.32160866)×2.05946513653354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05946513653354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05946513653354e-05×40589641000000     		ar = 22782.146515897m²