Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58827 / 31189
↖ ↑ ↗
← N 68.182786°
W 18.426819°		 ← 113.51 m → N 68.182786°
W 18.424072°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 68.181766°
W 18.426819°		 ← 113.52 m →
12 880 m²		 N 68.181766°
W 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448818206787109 y=0.237957000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448818206787109 × 217)
    floor (0.448818206787109 × 131072)
    floor (58827.5)     		tx = 58827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237957000732422 × 217)
    floor (0.237957000732422 × 131072)
    floor (31189.5)     		ty = 31189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58827 / 31189 ti = "17/58827/31189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58827/31189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58827 ÷ 217
    58827 ÷ 131072     		x = 0.448814392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31189 ÷ 217
    31189 ÷ 131072     		y = 0.237953186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448814392089844 × 2 - 1) × π
    -0.102371215820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32160866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237953186035156 × 2 - 1) × π
    0.524093627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.64648869125007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32160866} λ = -0.32160866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64648869125007))-π/2
    2×atan(5.18872857499478)-π/2
    2×1.38040522025411-π/2
    2.76081044050821-1.57079632675     		φ = 1.19001411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32160866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.426819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19001411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.182786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58827 KachelY 31189 -0.32160866 1.19001411 -18.426819 68.182786
    Oben rechts KachelX + 1 58828 KachelY 31189 -0.32156072 1.19001411 -18.424072 68.182786
    Unten links KachelX 58827 KachelY + 1 31190 -0.32160866 1.18999630 -18.426819 68.181766
    Unten rechts KachelX + 1 58828 KachelY + 1 31190 -0.32156072 1.18999630 -18.424072 68.181766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19001411-1.18999630) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19001411-1.18999630) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32160866--0.32156072) × cos(1.19001411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371646772937408 × 6371000     		do = 113.510490642945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32160866--0.32156072) × cos(1.18999630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371663307223168 × 6371000     		du = 113.515540639409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19001411)-sin(1.18999630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371646772937408-0.371663307223168)×R²
    abs(-0.32156072--0.32160866)×1.65342857594286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65342857594286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65342857594286e-05×40589641000000     		ar = 12880.0392377047m²