Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58826 / 31158
↖ ↑ ↗
← N 68.214408°
W 18.429566°		 ← 113.35 m → N 68.214408°
W 18.426819°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 68.213388°
W 18.429566°		 ← 113.36 m →
12 855 m²		 N 68.213388°
W 18.426819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448810577392578 y=0.237720489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448810577392578 × 217)
    floor (0.448810577392578 × 131072)
    floor (58826.5)     		tx = 58826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237720489501953 × 217)
    floor (0.237720489501953 × 131072)
    floor (31158.5)     		ty = 31158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58826 / 31158 ti = "17/58826/31158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58826/31158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58826 ÷ 217
    58826 ÷ 131072     		x = 0.448806762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31158 ÷ 217
    31158 ÷ 131072     		y = 0.237716674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448806762695312 × 2 - 1) × π
    -0.102386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32165660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237716674804688 × 2 - 1) × π
    0.524566650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64797473513829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32165660} λ = -0.32165660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64797473513829))-π/2
    2×atan(5.19644498542354)-π/2
    2×1.38068117154963-π/2
    2.76136234309927-1.57079632675     		φ = 1.19056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32165660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.429566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.214408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58826 KachelY 31158 -0.32165660 1.19056602 -18.429566 68.214408
    Oben rechts KachelX + 1 58827 KachelY 31158 -0.32160866 1.19056602 -18.426819 68.214408
    Unten links KachelX 58826 KachelY + 1 31159 -0.32165660 1.19054822 -18.429566 68.213388
    Unten rechts KachelX + 1 58827 KachelY + 1 31159 -0.32160866 1.19054822 -18.426819 68.213388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19056602-1.19054822) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19056602-1.19054822) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32165660--0.32160866) × cos(1.19056602) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371134337349808 × 6371000     		do = 113.353979624532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32165660--0.32160866) × cos(1.19054822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371150866000513 × 6371000     		du = 113.359027899905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19056602)-sin(1.19054822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371134337349808-0.371150866000513)×R²
    abs(-0.32160866--0.32165660)×1.65286507048945e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65286507048945e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65286507048945e-05×40589641000000     		ar = 12855.0582816181m²