Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58823 / 37831
↖ ↑ ↗
← N 60.317428°
W 18.437805°		 ← 151.25 m → N 60.317428°
W 18.435059°		 →
↑
151.25 m
↓
↑
151.25 m
↓
N 60.316068°
W 18.437805°		 ← 151.25 m →
22 876 m²		 N 60.316068°
W 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448787689208984 y=0.288631439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448787689208984 × 217)
    floor (0.448787689208984 × 131072)
    floor (58823.5)     		tx = 58823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288631439208984 × 217)
    floor (0.288631439208984 × 131072)
    floor (37831.5)     		ty = 37831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58823 / 37831 ti = "17/58823/37831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58823/37831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58823 ÷ 217
    58823 ÷ 131072     		x = 0.448783874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37831 ÷ 217
    37831 ÷ 131072     		y = 0.288627624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448783874511719 × 2 - 1) × π
    -0.102432250976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32180041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288627624511719 × 2 - 1) × π
    0.422744750976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.32809180397366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32180041} λ = -0.32180041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32809180397366))-π/2
    2×atan(3.77383529501515)-π/2
    2×1.31176702509628-π/2
    2.62353405019256-1.57079632675     		φ = 1.05273772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32180041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.437805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05273772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.317428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58823 KachelY 37831 -0.32180041 1.05273772 -18.437805 60.317428
    Oben rechts KachelX + 1 58824 KachelY 37831 -0.32175247 1.05273772 -18.435059 60.317428
    Unten links KachelX 58823 KachelY + 1 37832 -0.32180041 1.05271398 -18.437805 60.316068
    Unten rechts KachelX + 1 58824 KachelY + 1 37832 -0.32175247 1.05271398 -18.435059 60.316068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05273772-1.05271398) × R
    2.37400000000498e-05 × 6371000     		dl = 151.247540000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05273772-1.05271398) × R
    2.37400000000498e-05 × 6371000     		dr = 151.247540000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32180041--0.32175247) × cos(1.05273772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.495194424271167 × 6371000     		do = 151.245123476796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32180041--0.32175247) × cos(1.05271398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.495215049020656 × 6371000     		du = 151.251422806171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05273772)-sin(1.05271398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495194424271167-0.495215049020656)×R²
    abs(-0.32175247--0.32180041)×2.06247494889955e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06247494889955e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06247494889955e-05×40589641000000     		ar = 22875.9292428466m²