Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58817 / 39870
↖ ↑ ↗
← N 57.424252°
W 18.454285°		 ← 164.45 m → N 57.424252°
W 18.451538°		 →
↑
164.44 m
↓
↑
164.44 m
↓
N 57.422773°
W 18.454285°		 ← 164.45 m →
27 041 m²		 N 57.422773°
W 18.451538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448741912841797 y=0.304187774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448741912841797 × 217)
    floor (0.448741912841797 × 131072)
    floor (58817.5)     		tx = 58817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304187774658203 × 217)
    floor (0.304187774658203 × 131072)
    floor (39870.5)     		ty = 39870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58817 / 39870 ti = "17/58817/39870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58817/39870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58817 ÷ 217
    58817 ÷ 131072     		x = 0.448738098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39870 ÷ 217
    39870 ÷ 131072     		y = 0.304183959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448738098144531 × 2 - 1) × π
    -0.102523803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32208803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304183959960938 × 2 - 1) × π
    0.391632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23034846564836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32208803} λ = -0.32208803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23034846564836))-π/2
    2×atan(3.42242192499942)-π/2
    2×1.28651929828489-π/2
    2.57303859656977-1.57079632675     		φ = 1.00224227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32208803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.454285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00224227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.424252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58817 KachelY 39870 -0.32208803 1.00224227 -18.454285 57.424252
    Oben rechts KachelX + 1 58818 KachelY 39870 -0.32204009 1.00224227 -18.451538 57.424252
    Unten links KachelX 58817 KachelY + 1 39871 -0.32208803 1.00221646 -18.454285 57.422773
    Unten rechts KachelX + 1 58818 KachelY + 1 39871 -0.32204009 1.00221646 -18.451538 57.422773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00224227-1.00221646) × R
    2.5809999999904e-05 × 6371000     		dl = 164.435509999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00224227-1.00221646) × R
    2.5809999999904e-05 × 6371000     		dr = 164.435509999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32208803--0.32204009) × cos(1.00224227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.538414144045529 × 6371000     		do = 164.445538371655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32208803--0.32204009) × cos(1.00221646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.538435893446596 × 6371000     		du = 164.45218119857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00224227)-sin(1.00221646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538414144045529-0.538435893446596)×R²
    abs(-0.32204009--0.32208803)×2.17494010670283e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17494010670283e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17494010670283e-05×40589641000000     		ar = 27041.2321292112m²