Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58816 / 39872
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 18.457032°		 ← 164.46 m → N 57.421295°
W 18.454285°		 →
↑
164.44 m
↓
↑
164.44 m
↓
N 57.419816°
W 18.457032°		 ← 164.47 m →
27 043 m²		 N 57.419816°
W 18.454285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448734283447266 y=0.304203033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448734283447266 × 217)
    floor (0.448734283447266 × 131072)
    floor (58816.5)     		tx = 58816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304203033447266 × 217)
    floor (0.304203033447266 × 131072)
    floor (39872.5)     		ty = 39872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58816 / 39872 ti = "17/58816/39872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58816/39872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58816 ÷ 217
    58816 ÷ 131072     		x = 0.44873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39872 ÷ 217
    39872 ÷ 131072     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32213597} λ = -0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58816 KachelY 39872 -0.32213597 1.00219065 -18.457032 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 58817 KachelY 39872 -0.32208803 1.00219065 -18.454285 57.421295
    Unten links KachelX 58816 KachelY + 1 39873 -0.32213597 1.00216484 -18.457032 57.419816
    Unten rechts KachelX + 1 58817 KachelY + 1 39873 -0.32208803 1.00216484 -18.454285 57.419816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00216484) × R
    2.5809999999904e-05 × 6371000     		dl = 164.435509999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00216484) × R
    2.5809999999904e-05 × 6371000     		dr = 164.435509999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32213597--0.32208803) × cos(1.00219065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 164.458823915745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32213597--0.32208803) × cos(1.00216484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.538479391172669 × 6371000     		du = 164.465466523554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00216484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538479391172669)×R²
    abs(-0.32208803--0.32213597)×2.17486836877612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17486836877612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17486836877612e-05×40589641000000     		ar = 27043.4167262832m²