Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58815 / 39873
↖ ↑ ↗
← N 57.419816°
W 18.459778°		 ← 164.43 m → N 57.419816°
W 18.457032°		 →
↑
164.50 m
↓
↑
164.50 m
↓
N 57.418336°
W 18.459778°		 ← 164.44 m →
27 049 m²		 N 57.418336°
W 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448726654052734 y=0.304210662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448726654052734 × 217)
    floor (0.448726654052734 × 131072)
    floor (58815.5)     		tx = 58815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304210662841797 × 217)
    floor (0.304210662841797 × 131072)
    floor (39873.5)     		ty = 39873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58815 / 39873 ti = "17/58815/39873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58815/39873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58815 ÷ 217
    58815 ÷ 131072     		x = 0.448722839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39873 ÷ 217
    39873 ÷ 131072     		y = 0.304206848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448722839355469 × 2 - 1) × π
    -0.102554321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32218390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304206848144531 × 2 - 1) × π
    0.391586303710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.2302046549495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32218390} λ = -0.32218390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2302046549495))-π/2
    2×atan(3.42192977949933)-π/2
    2×1.28648058108179-π/2
    2.57296116216359-1.57079632675     		φ = 1.00216484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32218390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.459778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00216484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.419816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58815 KachelY 39873 -0.32218390 1.00216484 -18.459778 57.419816
    Oben rechts KachelX + 1 58816 KachelY 39873 -0.32213597 1.00216484 -18.457032 57.419816
    Unten links KachelX 58815 KachelY + 1 39874 -0.32218390 1.00213902 -18.459778 57.418336
    Unten rechts KachelX + 1 58816 KachelY + 1 39874 -0.32213597 1.00213902 -18.457032 57.418336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00216484-1.00213902) × R
    2.58200000000652e-05 × 6371000     		dl = 164.499220000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00216484-1.00213902) × R
    2.58200000000652e-05 × 6371000     		dr = 164.499220000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32218390--0.32213597) × cos(1.00216484) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.538479391172669 × 6371000     		do = 164.431160001751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32218390--0.32213597) × cos(1.00213902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.538501147923893 × 6371000     		du = 164.437803687471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00216484)-sin(1.00213902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538479391172669-0.538501147923893)×R²
    abs(-0.32213597--0.32218390)×2.17567512243999e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.17567512243999e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.17567512243999e-05×40589641000000     		ar = 27049.3440061078m²