Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58814 / 30055
↖ ↑ ↗
← N 69.311529°
W 18.462524°		 ← 107.90 m → N 69.311529°
W 18.459778°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
N 69.310558°
W 18.462524°		 ← 107.91 m →
11 646 m²		 N 69.310558°
W 18.459778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448719024658203 y=0.229305267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448719024658203 × 217)
    floor (0.448719024658203 × 131072)
    floor (58814.5)     		tx = 58814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229305267333984 × 217)
    floor (0.229305267333984 × 131072)
    floor (30055.5)     		ty = 30055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58814 / 30055 ti = "17/58814/30055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58814/30055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58814 ÷ 217
    58814 ÷ 131072     		x = 0.448715209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30055 ÷ 217
    30055 ÷ 131072     		y = 0.229301452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448715209960938 × 2 - 1) × π
    -0.102569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32223184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229301452636719 × 2 - 1) × π
    0.541397094726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.70084913541921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32223184} λ = -0.32223184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70084913541921))-π/2
    2×atan(5.47859748834188)-π/2
    2×1.39025535714689-π/2
    2.78051071429378-1.57079632675     		φ = 1.20971439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32223184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.462524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20971439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.311529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58814 KachelY 30055 -0.32223184 1.20971439 -18.462524 69.311529
    Oben rechts KachelX + 1 58815 KachelY 30055 -0.32218390 1.20971439 -18.459778 69.311529
    Unten links KachelX 58814 KachelY + 1 30056 -0.32223184 1.20969745 -18.462524 69.310558
    Unten rechts KachelX + 1 58815 KachelY + 1 30056 -0.32218390 1.20969745 -18.459778 69.310558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20971439-1.20969745) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dl = 107.924740000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20971439-1.20969745) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dr = 107.924740000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32223184--0.32218390) × cos(1.20971439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353286608103463 × 6371000     		do = 107.902823712019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32223184--0.32218390) × cos(1.20969745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353302455679201 × 6371000     		du = 107.907663969566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20971439)-sin(1.20969745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353286608103463-0.353302455679201)×R²
    abs(-0.32218390--0.32223184)×1.58475757387477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58475757387477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58475757387477e-05×40589641000000     		ar = 11645.6453865031m²