Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58810 / 30042
↖ ↑ ↗
← N 69.324139°
W 18.473511°		 ← 107.84 m → N 69.324139°
W 18.470764°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 69.323170°
W 18.473511°		 ← 107.84 m →
11 625 m²		 N 69.323170°
W 18.470764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448688507080078 y=0.229206085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448688507080078 × 217)
    floor (0.448688507080078 × 131072)
    floor (58810.5)     		tx = 58810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229206085205078 × 217)
    floor (0.229206085205078 × 131072)
    floor (30042.5)     		ty = 30042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58810 / 30042 ti = "17/58810/30042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58810/30042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58810 ÷ 217
    58810 ÷ 131072     		x = 0.448684692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30042 ÷ 217
    30042 ÷ 131072     		y = 0.229202270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448684692382812 × 2 - 1) × π
    -0.102630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32242359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229202270507812 × 2 - 1) × π
    0.541595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70147231511427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32242359} λ = -0.32242359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70147231511427))-π/2
    2×atan(5.48201270308975)-π/2
    2×1.39036540558518-π/2
    2.78073081117035-1.57079632675     		φ = 1.20993448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32242359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.473511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20993448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.324139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58810 KachelY 30042 -0.32242359 1.20993448 -18.473511 69.324139
    Oben rechts KachelX + 1 58811 KachelY 30042 -0.32237565 1.20993448 -18.470764 69.324139
    Unten links KachelX 58810 KachelY + 1 30043 -0.32242359 1.20991756 -18.473511 69.323170
    Unten rechts KachelX + 1 58811 KachelY + 1 30043 -0.32237565 1.20991756 -18.470764 69.323170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20993448-1.20991756) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20993448-1.20991756) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32242359--0.32237565) × cos(1.20993448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353080702021975 × 6371000     		do = 107.83993469471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32242359--0.32237565) × cos(1.20991756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353096532202789 × 6371000     		du = 107.8447696394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20993448)-sin(1.20991756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353080702021975-0.353096532202789)×R²
    abs(-0.32237565--0.32242359)×1.58301808136918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58301808136918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58301808136918e-05×40589641000000     		ar = 11625.1165462789m²