Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58806 / 46150
↖ ↑ ↗
← N 46.908998°
W 18.484497°		 ← 208.61 m → N 46.908998°
W 18.481751°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 46.907122°
W 18.484497°		 ← 208.62 m →
43 527 m²		 N 46.907122°
W 18.481751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448657989501953 y=0.352100372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448657989501953 × 217)
    floor (0.448657989501953 × 131072)
    floor (58806.5)     		tx = 58806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352100372314453 × 217)
    floor (0.352100372314453 × 131072)
    floor (46150.5)     		ty = 46150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58806 / 46150 ti = "17/58806/46150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58806/46150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58806 ÷ 217
    58806 ÷ 131072     		x = 0.448654174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46150 ÷ 217
    46150 ÷ 131072     		y = 0.352096557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448654174804688 × 2 - 1) × π
    -0.102691650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32261533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352096557617188 × 2 - 1) × π
    0.295806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.929304736034409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32261533} λ = -0.32261533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929304736034409))-π/2
    2×atan(2.53274763715496)-π/2
    2×1.19475639868443-π/2
    2.38951279736886-1.57079632675     		φ = 0.81871647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32261533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.484497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81871647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.908998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58806 KachelY 46150 -0.32261533 0.81871647 -18.484497 46.908998
    Oben rechts KachelX + 1 58807 KachelY 46150 -0.32256740 0.81871647 -18.481751 46.908998
    Unten links KachelX 58806 KachelY + 1 46151 -0.32261533 0.81868372 -18.484497 46.907122
    Unten rechts KachelX + 1 58807 KachelY + 1 46151 -0.32256740 0.81868372 -18.481751 46.907122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81871647-0.81868372) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dl = 208.650250000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81871647-0.81868372) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dr = 208.650250000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32261533--0.32256740) × cos(0.81871647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683159092674434 × 6371000     		do = 208.610847351909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32261533--0.32256740) × cos(0.81868372) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683183008636689 × 6371000     		du = 208.618150378693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81871647)-sin(0.81868372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683159092674434-0.683183008636689)×R²
    abs(-0.32256740--0.32261533)×2.39159622547058e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39159622547058e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39159622547058e-05×40589641000000     		ar = 43527.4673457238m²