Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58806 / 45449
↖ ↑ ↗
← N 48.208202°
W 18.484497°		 ← 203.50 m → N 48.208202°
W 18.481751°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
N 48.206371°
W 18.484497°		 ← 203.51 m →
41 424 m²		 N 48.206371°
W 18.481751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448657989501953 y=0.346752166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448657989501953 × 217)
    floor (0.448657989501953 × 131072)
    floor (58806.5)     		tx = 58806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346752166748047 × 217)
    floor (0.346752166748047 × 131072)
    floor (45449.5)     		ty = 45449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58806 / 45449 ti = "17/58806/45449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58806/45449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58806 ÷ 217
    58806 ÷ 131072     		x = 0.448654174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45449 ÷ 217
    45449 ÷ 131072     		y = 0.346748352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448654174804688 × 2 - 1) × π
    -0.102691650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32261533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346748352050781 × 2 - 1) × π
    0.306503295898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.962908502668068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32261533} λ = -0.32261533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962908502668068))-π/2
    2×atan(2.61930365697841)-π/2
    2×1.20609408699511-π/2
    2.41218817399022-1.57079632675     		φ = 0.84139185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32261533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.484497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84139185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.208202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58806 KachelY 45449 -0.32261533 0.84139185 -18.484497 48.208202
    Oben rechts KachelX + 1 58807 KachelY 45449 -0.32256740 0.84139185 -18.481751 48.208202
    Unten links KachelX 58806 KachelY + 1 45450 -0.32261533 0.84135990 -18.484497 48.206371
    Unten rechts KachelX + 1 58807 KachelY + 1 45450 -0.32256740 0.84135990 -18.481751 48.206371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84139185-0.84135990) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84139185-0.84135990) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32261533--0.32256740) × cos(0.84139185) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.666425748129532 × 6371000     		do = 203.501119292992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32261533--0.32256740) × cos(0.84135990) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.666449568795822 × 6371000     		du = 203.508393220006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84139185)-sin(0.84135990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666425748129532-0.666449568795822)×R²
    abs(-0.32256740--0.32261533)×2.38206662899199e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38206662899199e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38206662899199e-05×40589641000000     		ar = 41424.0952308036m²