Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58805 / 46149
↖ ↑ ↗
← N 46.910875°
W 18.487244°		 ← 208.65 m → N 46.910875°
W 18.484497°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 46.908998°
W 18.487244°		 ← 208.65 m →
43 535 m²		 N 46.908998°
W 18.484497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448650360107422 y=0.352092742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448650360107422 × 217)
    floor (0.448650360107422 × 131072)
    floor (58805.5)     		tx = 58805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352092742919922 × 217)
    floor (0.352092742919922 × 131072)
    floor (46149.5)     		ty = 46149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58805 / 46149 ti = "17/58805/46149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58805/46149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58805 ÷ 217
    58805 ÷ 131072     		x = 0.448646545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46149 ÷ 217
    46149 ÷ 131072     		y = 0.352088928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448646545410156 × 2 - 1) × π
    -0.102706909179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32266327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352088928222656 × 2 - 1) × π
    0.295822143554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.929352672934029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32266327} λ = -0.32266327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929352672934029))-π/2
    2×atan(2.53286905213431)-π/2
    2×1.19477277266224-π/2
    2.38954554532448-1.57079632675     		φ = 0.81874922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32266327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.487244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81874922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.910875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58805 KachelY 46149 -0.32266327 0.81874922 -18.487244 46.910875
    Oben rechts KachelX + 1 58806 KachelY 46149 -0.32261533 0.81874922 -18.484497 46.910875
    Unten links KachelX 58805 KachelY + 1 46150 -0.32266327 0.81871647 -18.487244 46.908998
    Unten rechts KachelX + 1 58806 KachelY + 1 46150 -0.32261533 0.81871647 -18.484497 46.908998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81874922-0.81871647) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dl = 208.650250000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81874922-0.81871647) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dr = 208.650250000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32266327--0.32261533) × cos(0.81874922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683135175979449 × 6371000     		do = 208.647066643658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32266327--0.32261533) × cos(0.81871647) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683159092674434 × 6371000     		du = 208.654371417922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81874922)-sin(0.81871647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683135175979449-0.683159092674434)×R²
    abs(-0.32261533--0.32266327)×2.39166949855818e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39166949855818e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39166949855818e-05×40589641000000     		ar = 43535.0246922543m²