Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58804 / 46148
↖ ↑ ↗
← N 46.912751°
W 18.489990°		 ← 208.64 m → N 46.912751°
W 18.487244°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 46.910875°
W 18.489990°		 ← 208.65 m →
43 534 m²		 N 46.910875°
W 18.487244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448642730712891 y=0.352085113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448642730712891 × 217)
    floor (0.448642730712891 × 131072)
    floor (58804.5)     		tx = 58804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352085113525391 × 217)
    floor (0.352085113525391 × 131072)
    floor (46148.5)     		ty = 46148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58804 / 46148 ti = "17/58804/46148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58804/46148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58804 ÷ 217
    58804 ÷ 131072     		x = 0.448638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46148 ÷ 217
    46148 ÷ 131072     		y = 0.352081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.10272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32271121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352081298828125 × 2 - 1) × π
    0.29583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.929400609833649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32271121} λ = -0.32271121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929400609833649))-π/2
    2×atan(2.53299047293406)-π/2
    2×1.19478914606684-π/2
    2.38957829213368-1.57079632675     		φ = 0.81878197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32271121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.489990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81878197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.912751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58804 KachelY 46148 -0.32271121 0.81878197 -18.489990 46.912751
    Oben rechts KachelX + 1 58805 KachelY 46148 -0.32266327 0.81878197 -18.487244 46.912751
    Unten links KachelX 58804 KachelY + 1 46149 -0.32271121 0.81874922 -18.489990 46.910875
    Unten rechts KachelX + 1 58805 KachelY + 1 46149 -0.32266327 0.81874922 -18.487244 46.910875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81878197-0.81874922) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dl = 208.650249999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81878197-0.81874922) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dr = 208.650249999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32271121--0.32266327) × cos(0.81878197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683111258551758 × 6371000     		do = 208.639761645607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32271121--0.32266327) × cos(0.81874922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683135175979449 × 6371000     		du = 208.647066643658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81878197)-sin(0.81874922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683111258551758-0.683135175979449)×R²
    abs(-0.32266327--0.32271121)×2.39174276907006e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39174276907006e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39174276907006e-05×40589641000000     		ar = 43533.5005259072m²