Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58801 / 30161
↖ ↑ ↗
← N 69.208429°
W 18.498230°		 ← 108.42 m → N 69.208429°
W 18.495483°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
N 69.207454°
W 18.498230°		 ← 108.42 m →
11 756 m²		 N 69.207454°
W 18.495483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448619842529297 y=0.230113983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448619842529297 × 217)
    floor (0.448619842529297 × 131072)
    floor (58801.5)     		tx = 58801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230113983154297 × 217)
    floor (0.230113983154297 × 131072)
    floor (30161.5)     		ty = 30161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58801 / 30161 ti = "17/58801/30161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58801/30161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58801 ÷ 217
    58801 ÷ 131072     		x = 0.448616027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30161 ÷ 217
    30161 ÷ 131072     		y = 0.230110168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448616027832031 × 2 - 1) × π
    -0.102767944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32285502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230110168457031 × 2 - 1) × π
    0.539779663085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.69576782405949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32285502} λ = -0.32285502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69576782405949))-π/2
    2×atan(5.45082963698477)-π/2
    2×1.38935564122706-π/2
    2.77871128245412-1.57079632675     		φ = 1.20791496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32285502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.498230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20791496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.208429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58801 KachelY 30161 -0.32285502 1.20791496 -18.498230 69.208429
    Oben rechts KachelX + 1 58802 KachelY 30161 -0.32280708 1.20791496 -18.495483 69.208429
    Unten links KachelX 58801 KachelY + 1 30162 -0.32285502 1.20789794 -18.498230 69.207454
    Unten rechts KachelX + 1 58802 KachelY + 1 30162 -0.32280708 1.20789794 -18.495483 69.207454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20791496-1.20789794) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20791496-1.20789794) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32285502--0.32280708) × cos(1.20791496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354969429237182 × 6371000     		do = 108.416800602073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32285502--0.32280708) × cos(1.20789794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354985340807775 × 6371000     		du = 108.421660405296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20791496)-sin(1.20789794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354969429237182-0.354985340807775)×R²
    abs(-0.32280708--0.32285502)×1.59115705926638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59115705926638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59115705926638e-05×40589641000000     		ar = 11756.3763767789m²