Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5880 / 6937
↖ ↑ ↗
← N 26.568876°
W 50.800782°		 ← 2 185.26 m → N 26.568876°
W 50.778809°		 →
↑
2 185.38 m
↓
↑
2 185.38 m
↓
N 26.549223°
W 50.800782°		 ← 2 185.64 m →
4 776 038 m²		 N 26.549223°
W 50.778809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358917236328125 y=0.423431396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358917236328125 × 214)
    floor (0.358917236328125 × 16384)
    floor (5880.5)     		tx = 5880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423431396484375 × 214)
    floor (0.423431396484375 × 16384)
    floor (6937.5)     		ty = 6937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5880 / 6937 ti = "14/5880/6937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5880/6937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5880 ÷ 214
    5880 ÷ 16384     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6937 ÷ 214
    6937 ÷ 16384     		y = 0.42340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42340087890625 × 2 - 1) × π
    0.1531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481286472185364))-π/2
    2×atan(1.61815477484465)-π/2
    2×1.01725535055012-π/2
    2.03451070110024-1.57079632675     		φ = 0.46371437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46371437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.568876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5880 KachelY 6937 -0.88664090 0.46371437 -50.800782 26.568876
    Oben rechts KachelX + 1 5881 KachelY 6937 -0.88625740 0.46371437 -50.778809 26.568876
    Unten links KachelX 5880 KachelY + 1 6938 -0.88664090 0.46337135 -50.800782 26.549223
    Unten rechts KachelX + 1 5881 KachelY + 1 6938 -0.88625740 0.46337135 -50.778809 26.549223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46371437-0.46337135) × R
    0.000343019999999972 × 6371000     		dl = 2185.38041999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46371437-0.46337135) × R
    0.000343019999999972 × 6371000     		dr = 2185.38041999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88625740) × cos(0.46371437) × R
    0.000383499999999981 × 0.894397332580204 × 6371000     		do = 2185.26177315046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88625740) × cos(0.46337135) × R
    0.000383499999999981 × 0.894550703648474 × 6371000     		du = 2185.63650138408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46371437)-sin(0.46337135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894397332580204-0.894550703648474)×R²
    abs(-0.88625740--0.88664090)×0.000153371068269514×R²
    0.000383499999999981×0.000153371068269514×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153371068269514×40589641000000     		ar = 4776037.8003195m²