Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58799 / 46190
↖ ↑ ↗
← N 46.833892°
W 18.503723°		 ← 208.90 m → N 46.833892°
W 18.500977°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
N 46.832013°
W 18.503723°		 ← 208.91 m →
43 642 m²		 N 46.832013°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448604583740234 y=0.352405548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448604583740234 × 217)
    floor (0.448604583740234 × 131072)
    floor (58799.5)     		tx = 58799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352405548095703 × 217)
    floor (0.352405548095703 × 131072)
    floor (46190.5)     		ty = 46190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58799 / 46190 ti = "17/58799/46190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58799/46190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58799 ÷ 217
    58799 ÷ 131072     		x = 0.448600769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46190 ÷ 217
    46190 ÷ 131072     		y = 0.352401733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448600769042969 × 2 - 1) × π
    -0.102798461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32295089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352401733398438 × 2 - 1) × π
    0.295196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.927387260049606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32295089} λ = -0.32295089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927387260049606))-π/2
    2×atan(2.52789580750513)-π/2
    2×1.1941009695121-π/2
    2.3882019390242-1.57079632675     		φ = 0.81740561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32295089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.503723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81740561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.833892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58799 KachelY 46190 -0.32295089 0.81740561 -18.503723 46.833892
    Oben rechts KachelX + 1 58800 KachelY 46190 -0.32290296 0.81740561 -18.500977 46.833892
    Unten links KachelX 58799 KachelY + 1 46191 -0.32295089 0.81737282 -18.503723 46.832013
    Unten rechts KachelX + 1 58800 KachelY + 1 46191 -0.32290296 0.81737282 -18.500977 46.832013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81740561-0.81737282) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dl = 208.90509000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81740561-0.81737282) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dr = 208.90509000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32295089--0.32290296) × cos(0.81740561) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684115786622614 × 6371000     		do = 208.902985358014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32295089--0.32290296) × cos(0.81737282) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684139702409381 × 6371000     		du = 208.910288331211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81740561)-sin(0.81737282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684115786622614-0.684139702409381)×R²
    abs(-0.32290296--0.32295089)×2.39157867677475e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39157867677475e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39157867677475e-05×40589641000000     		ar = 43641.6597755079m²