Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58799 / 31006
↖ ↑ ↗
← N 68.368826°
W 18.503723°		 ← 112.57 m → N 68.368826°
W 18.500977°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
N 68.367814°
W 18.503723°		 ← 112.57 m →
12 672 m²		 N 68.367814°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448604583740234 y=0.236560821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448604583740234 × 217)
    floor (0.448604583740234 × 131072)
    floor (58799.5)     		tx = 58799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236560821533203 × 217)
    floor (0.236560821533203 × 131072)
    floor (31006.5)     		ty = 31006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58799 / 31006 ti = "17/58799/31006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58799/31006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58799 ÷ 217
    58799 ÷ 131072     		x = 0.448600769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31006 ÷ 217
    31006 ÷ 131072     		y = 0.236557006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448600769042969 × 2 - 1) × π
    -0.102798461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32295089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236557006835938 × 2 - 1) × π
    0.526885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65526114388054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32295089} λ = -0.32295089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65526114388054))-π/2
    2×atan(5.23444668742954)-π/2
    2×1.382028724246-π/2
    2.764057448492-1.57079632675     		φ = 1.19326112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32295089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.503723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19326112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.368826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58799 KachelY 31006 -0.32295089 1.19326112 -18.503723 68.368826
    Oben rechts KachelX + 1 58800 KachelY 31006 -0.32290296 1.19326112 -18.500977 68.368826
    Unten links KachelX 58799 KachelY + 1 31007 -0.32295089 1.19324345 -18.503723 68.367814
    Unten rechts KachelX + 1 58800 KachelY + 1 31007 -0.32290296 1.19324345 -18.500977 68.367814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19326112-1.19324345) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19326112-1.19324345) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32295089--0.32290296) × cos(1.19326112) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368630378738574 × 6371000     		do = 112.565720771218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32295089--0.32290296) × cos(1.19324345) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368646804289934 × 6371000     		du = 112.570736510926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19326112)-sin(1.19324345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368630378738574-0.368646804289934)×R²
    abs(-0.32290296--0.32295089)×1.64255513600553e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64255513600553e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64255513600553e-05×40589641000000     		ar = 12672.4325033366m²