Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58796 / 30034
↖ ↑ ↗
← N 69.331896°
W 18.511963°		 ← 107.78 m → N 69.331896°
W 18.509217°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 69.330926°
W 18.511963°		 ← 107.78 m →
11 619 m²		 N 69.330926°
W 18.509217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448581695556641 y=0.229145050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448581695556641 × 217)
    floor (0.448581695556641 × 131072)
    floor (58796.5)     		tx = 58796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229145050048828 × 217)
    floor (0.229145050048828 × 131072)
    floor (30034.5)     		ty = 30034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58796 / 30034 ti = "17/58796/30034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58796/30034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58796 ÷ 217
    58796 ÷ 131072     		x = 0.448577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30034 ÷ 217
    30034 ÷ 131072     		y = 0.229141235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.10284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32309470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229141235351562 × 2 - 1) × π
    0.541717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70185581031123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32309470} λ = -0.32309470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70185581031123))-π/2
    2×atan(5.48411543179847)-π/2
    2×1.39043309581667-π/2
    2.78086619163334-1.57079632675     		φ = 1.21006986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32309470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.511963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21006986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.331896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58796 KachelY 30034 -0.32309470 1.21006986 -18.511963 69.331896
    Oben rechts KachelX + 1 58797 KachelY 30034 -0.32304677 1.21006986 -18.509217 69.331896
    Unten links KachelX 58796 KachelY + 1 30035 -0.32309470 1.21005294 -18.511963 69.330926
    Unten rechts KachelX + 1 58797 KachelY + 1 30035 -0.32304677 1.21005294 -18.509217 69.330926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21006986-1.21005294) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21006986-1.21005294) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32309470--0.32304677) × cos(1.21006986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352954038224074 × 6371000     		do = 107.778761608867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32309470--0.32304677) × cos(1.21005294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352969869213538 × 6371000     		du = 107.783595791946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21006986)-sin(1.21005294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352954038224074-0.352969869213538)×R²
    abs(-0.32304677--0.32309470)×1.58309894638942e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58309894638942e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58309894638942e-05×40589641000000     		ar = 11618.5222106524m²