Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58795 / 31007
↖ ↑ ↗
← N 68.367814°
W 18.514709°		 ← 112.59 m → N 68.367814°
W 18.511963°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
N 68.366801°
W 18.514709°		 ← 112.60 m →
12 676 m²		 N 68.366801°
W 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448574066162109 y=0.236568450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448574066162109 × 217)
    floor (0.448574066162109 × 131072)
    floor (58795.5)     		tx = 58795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236568450927734 × 217)
    floor (0.236568450927734 × 131072)
    floor (31007.5)     		ty = 31007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58795 / 31007 ti = "17/58795/31007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58795/31007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58795 ÷ 217
    58795 ÷ 131072     		x = 0.448570251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31007 ÷ 217
    31007 ÷ 131072     		y = 0.236564636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448570251464844 × 2 - 1) × π
    -0.102859497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32314264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236564636230469 × 2 - 1) × π
    0.526870727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.65521320698092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32314264} λ = -0.32314264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65521320698092))-π/2
    2×atan(5.23419577029826)-π/2
    2×1.38201988855045-π/2
    2.76403977710089-1.57079632675     		φ = 1.19324345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32314264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.514709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19324345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.367814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58795 KachelY 31007 -0.32314264 1.19324345 -18.514709 68.367814
    Oben rechts KachelX + 1 58796 KachelY 31007 -0.32309470 1.19324345 -18.511963 68.367814
    Unten links KachelX 58795 KachelY + 1 31008 -0.32314264 1.19322578 -18.514709 68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 58796 KachelY + 1 31008 -0.32309470 1.19322578 -18.511963 68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19324345-1.19322578) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19324345-1.19322578) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32314264--0.32309470) × cos(1.19324345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368646804289934 × 6371000     		do = 112.594222998815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32314264--0.32309470) × cos(1.19322578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 112.599239749838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19324345)-sin(1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368646804289934-0.368663229726192)×R²
    abs(-0.32309470--0.32314264)×1.64254362578498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64254362578498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64254362578498e-05×40589641000000     		ar = 12675.6412150426m²