Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58793 / 46125
↖ ↑ ↗
← N 46.955887°
W 18.520202°		 ← 208.43 m → N 46.955887°
W 18.517456°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 46.954012°
W 18.520202°		 ← 208.44 m →
43 450 m²		 N 46.954012°
W 18.517456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448558807373047 y=0.351909637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448558807373047 × 217)
    floor (0.448558807373047 × 131072)
    floor (58793.5)     		tx = 58793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351909637451172 × 217)
    floor (0.351909637451172 × 131072)
    floor (46125.5)     		ty = 46125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58793 / 46125 ti = "17/58793/46125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58793/46125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58793 ÷ 217
    58793 ÷ 131072     		x = 0.448554992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46125 ÷ 217
    46125 ÷ 131072     		y = 0.351905822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448554992675781 × 2 - 1) × π
    -0.102890014648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32323851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351905822753906 × 2 - 1) × π
    0.296188354492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.93050315852491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32323851} λ = -0.32323851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93050315852491))-π/2
    2×atan(2.5357847583998)-π/2
    2×1.19516557617275-π/2
    2.3903311523455-1.57079632675     		φ = 0.81953483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32323851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.520202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81953483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.955887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58793 KachelY 46125 -0.32323851 0.81953483 -18.520202 46.955887
    Oben rechts KachelX + 1 58794 KachelY 46125 -0.32319058 0.81953483 -18.517456 46.955887
    Unten links KachelX 58793 KachelY + 1 46126 -0.32323851 0.81950211 -18.520202 46.954012
    Unten rechts KachelX + 1 58794 KachelY + 1 46126 -0.32319058 0.81950211 -18.517456 46.954012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81953483-0.81950211) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dl = 208.459120000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81953483-0.81950211) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dr = 208.459120000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32323851--0.32319058) × cos(0.81953483) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682561240570384 × 6371000     		do = 208.428286019777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32323851--0.32319058) × cos(0.81950211) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682585152910312 × 6371000     		du = 208.435587940439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81953483)-sin(0.81950211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682561240570384-0.682585152910312)×R²
    abs(-0.32319058--0.32323851)×2.3912339928045e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3912339928045e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3912339928045e-05×40589641000000     		ar = 43449.5381667394m²