Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58793 / 45513
↖ ↑ ↗
← N 48.090923°
W 18.520202°		 ← 203.97 m → N 48.090923°
W 18.517456°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 48.089088°
W 18.520202°		 ← 203.97 m →
41 610 m²		 N 48.089088°
W 18.517456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448558807373047 y=0.347240447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448558807373047 × 217)
    floor (0.448558807373047 × 131072)
    floor (58793.5)     		tx = 58793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347240447998047 × 217)
    floor (0.347240447998047 × 131072)
    floor (45513.5)     		ty = 45513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58793 / 45513 ti = "17/58793/45513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58793/45513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58793 ÷ 217
    58793 ÷ 131072     		x = 0.448554992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45513 ÷ 217
    45513 ÷ 131072     		y = 0.347236633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448554992675781 × 2 - 1) × π
    -0.102890014648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32323851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347236633300781 × 2 - 1) × π
    0.305526733398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.959840541092384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32323851} λ = -0.32323851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959840541092384))-π/2
    2×atan(2.61128004835867)-π/2
    2×1.20507063334147-π/2
    2.41014126668294-1.57079632675     		φ = 0.83934494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32323851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.520202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83934494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.090923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58793 KachelY 45513 -0.32323851 0.83934494 -18.520202 48.090923
    Oben rechts KachelX + 1 58794 KachelY 45513 -0.32319058 0.83934494 -18.517456 48.090923
    Unten links KachelX 58793 KachelY + 1 45514 -0.32323851 0.83931292 -18.520202 48.089088
    Unten rechts KachelX + 1 58794 KachelY + 1 45514 -0.32319058 0.83931292 -18.517456 48.089088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83934494-0.83931292) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83934494-0.83931292) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32323851--0.32319058) × cos(0.83934494) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667950468523244 × 6371000     		do = 203.966711007598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32323851--0.32319058) × cos(0.83931292) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667974297648362 × 6371000     		du = 203.973987517617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83934494)-sin(0.83931292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667950468523244-0.667974297648362)×R²
    abs(-0.32319058--0.32323851)×2.38291251175582e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38291251175582e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38291251175582e-05×40589641000000     		ar = 41609.8329503121m²