Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58792 / 46126
↖ ↑ ↗
← N 46.954012°
W 18.522949°		 ← 208.48 m → N 46.954012°
W 18.520202°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
N 46.952137°
W 18.522949°		 ← 208.49 m →
43 473 m²		 N 46.952137°
W 18.520202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448551177978516 y=0.351917266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448551177978516 × 217)
    floor (0.448551177978516 × 131072)
    floor (58792.5)     		tx = 58792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351917266845703 × 217)
    floor (0.351917266845703 × 131072)
    floor (46126.5)     		ty = 46126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58792 / 46126 ti = "17/58792/46126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58792/46126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58792 ÷ 217
    58792 ÷ 131072     		x = 0.44854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46126 ÷ 217
    46126 ÷ 131072     		y = 0.351913452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351913452148438 × 2 - 1) × π
    0.296173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93045522162529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32328645} λ = -0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93045522162529))-π/2
    2×atan(2.53566320365388)-π/2
    2×1.19514921595126-π/2
    2.39029843190253-1.57079632675     		φ = 0.81950211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81950211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.954012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58792 KachelY 46126 -0.32328645 0.81950211 -18.522949 46.954012
    Oben rechts KachelX + 1 58793 KachelY 46126 -0.32323851 0.81950211 -18.520202 46.954012
    Unten links KachelX 58792 KachelY + 1 46127 -0.32328645 0.81946938 -18.522949 46.952137
    Unten rechts KachelX + 1 58793 KachelY + 1 46127 -0.32323851 0.81946938 -18.520202 46.952137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81950211-0.81946938) × R
    3.27299999999253e-05 × 6371000     		dl = 208.522829999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81950211-0.81946938) × R
    3.27299999999253e-05 × 6371000     		dr = 208.522829999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32328645--0.32323851) × cos(0.81950211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682585152910312 × 6371000     		do = 208.47907544075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32328645--0.32323851) × cos(0.81946938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682609071827302 × 6371000     		du = 208.486380893672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81950211)-sin(0.81946938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682585152910312-0.682609071827302)×R²
    abs(-0.32323851--0.32328645)×2.39189169907172e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39189169907172e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39189169907172e-05×40589641000000     		ar = 43473.4084873368m²