Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58791 / 46107
↖ ↑ ↗
← N 46.989621°
W 18.525696°		 ← 208.34 m → N 46.989621°
W 18.522949°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 46.987747°
W 18.525696°		 ← 208.35 m →
43 405 m²		 N 46.987747°
W 18.522949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448543548583984 y=0.351772308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448543548583984 × 217)
    floor (0.448543548583984 × 131072)
    floor (58791.5)     		tx = 58791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351772308349609 × 217)
    floor (0.351772308349609 × 131072)
    floor (46107.5)     		ty = 46107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58791 / 46107 ti = "17/58791/46107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58791/46107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58791 ÷ 217
    58791 ÷ 131072     		x = 0.448539733886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46107 ÷ 217
    46107 ÷ 131072     		y = 0.351768493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448539733886719 × 2 - 1) × π
    -0.102920532226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32333439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351768493652344 × 2 - 1) × π
    0.296463012695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.931366022718071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32333439} λ = -0.32333439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931366022718071))-π/2
    2×atan(2.53797374053072)-π/2
    2×1.19545996215371-π/2
    2.39091992430743-1.57079632675     		φ = 0.82012360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32333439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.525696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82012360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.989621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58791 KachelY 46107 -0.32333439 0.82012360 -18.525696 46.989621
    Oben rechts KachelX + 1 58792 KachelY 46107 -0.32328645 0.82012360 -18.522949 46.989621
    Unten links KachelX 58791 KachelY + 1 46108 -0.32333439 0.82009090 -18.525696 46.987747
    Unten rechts KachelX + 1 58792 KachelY + 1 46108 -0.32328645 0.82009090 -18.522949 46.987747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82012360-0.82009090) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82012360-0.82009090) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32333439--0.32328645) × cos(0.82012360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682130832452156 × 6371000     		do = 208.34031427862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32333439--0.32328645) × cos(0.82009090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682154743313251 × 6371000     		du = 208.347617271064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82012360)-sin(0.82009090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682130832452156-0.682154743313251)×R²
    abs(-0.32328645--0.32333439)×2.39108610944339e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39108610944339e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39108610944339e-05×40589641000000     		ar = 43404.6525784904m²