Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58790 / 46146
↖ ↑ ↗
← N 46.916504°
W 18.528442°		 ← 208.58 m → N 46.916504°
W 18.525696°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 46.914627°
W 18.528442°		 ← 208.59 m →
43 521 m²		 N 46.914627°
W 18.525696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448535919189453 y=0.352069854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448535919189453 × 217)
    floor (0.448535919189453 × 131072)
    floor (58790.5)     		tx = 58790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352069854736328 × 217)
    floor (0.352069854736328 × 131072)
    floor (46146.5)     		ty = 46146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58790 / 46146 ti = "17/58790/46146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58790/46146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58790 ÷ 217
    58790 ÷ 131072     		x = 0.448532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46146 ÷ 217
    46146 ÷ 131072     		y = 0.352066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448532104492188 × 2 - 1) × π
    -0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352066040039062 × 2 - 1) × π
    0.295867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.929496483632889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32338232} λ = -0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929496483632889))-π/2
    2×atan(2.53323333199586)-π/2
    2×1.19482189115642-π/2
    2.38964378231285-1.57079632675     		φ = 0.81884746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81884746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.916504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58790 KachelY 46146 -0.32338232 0.81884746 -18.528442 46.916504
    Oben rechts KachelX + 1 58791 KachelY 46146 -0.32333439 0.81884746 -18.525696 46.916504
    Unten links KachelX 58790 KachelY + 1 46147 -0.32338232 0.81881471 -18.528442 46.914627
    Unten rechts KachelX + 1 58791 KachelY + 1 46147 -0.32333439 0.81881471 -18.525696 46.914627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81884746-0.81881471) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dl = 208.650250000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81884746-0.81881471) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dr = 208.650250000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(0.81884746) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683063428801954 × 6371000     		do = 208.581635237611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(0.81881471) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683087347694754 × 6371000     		du = 208.588939159272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81884746)-sin(0.81881471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683063428801954-0.683087347694754)×R²
    abs(-0.32333439--0.32338232)×2.39188928004008e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39188928004008e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39188928004008e-05×40589641000000     		ar = 43521.3723242138m²