Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58790 / 46128
↖ ↑ ↗
← N 46.950262°
W 18.528442°		 ← 208.45 m → N 46.950262°
W 18.525696°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 46.948387°
W 18.528442°		 ← 208.46 m →
43 454 m²		 N 46.948387°
W 18.525696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448535919189453 y=0.351932525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448535919189453 × 217)
    floor (0.448535919189453 × 131072)
    floor (58790.5)     		tx = 58790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351932525634766 × 217)
    floor (0.351932525634766 × 131072)
    floor (46128.5)     		ty = 46128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58790 / 46128 ti = "17/58790/46128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58790/46128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58790 ÷ 217
    58790 ÷ 131072     		x = 0.448532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46128 ÷ 217
    46128 ÷ 131072     		y = 0.3519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448532104492188 × 2 - 1) × π
    -0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3519287109375 × 2 - 1) × π
    0.296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93035934782605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32338232} λ = -0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93035934782605))-π/2
    2×atan(2.53542011164221)-π/2
    2×1.19511649378883-π/2
    2.39023298757766-1.57079632675     		φ = 0.81943666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81943666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.950262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58790 KachelY 46128 -0.32338232 0.81943666 -18.528442 46.950262
    Oben rechts KachelX + 1 58791 KachelY 46128 -0.32333439 0.81943666 -18.525696 46.950262
    Unten links KachelX 58790 KachelY + 1 46129 -0.32338232 0.81940394 -18.528442 46.948387
    Unten rechts KachelX + 1 58791 KachelY + 1 46129 -0.32333439 0.81940394 -18.525696 46.948387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81943666-0.81940394) × R
    3.27199999999861e-05 × 6371000     		dl = 208.459119999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81943666-0.81940394) × R
    3.27199999999861e-05 × 6371000     		dr = 208.459119999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(0.81943666) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682632982705432 × 6371000     		do = 208.450193343772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(0.81940394) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682656892852736 × 6371000     		du = 208.45749459489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81943666)-sin(0.81940394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682632982705432-0.682656892852736)×R²
    abs(-0.32333439--0.32338232)×2.39101473040737e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39101473040737e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39101473040737e-05×40589641000000     		ar = 43454.1048781369m²