Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58790 / 31014
↖ ↑ ↗
← N 68.360725°
W 18.528442°		 ← 112.61 m → N 68.360725°
W 18.525696°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
N 68.359712°
W 18.528442°		 ← 112.61 m →
12 684 m²		 N 68.359712°
W 18.525696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448535919189453 y=0.236621856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448535919189453 × 217)
    floor (0.448535919189453 × 131072)
    floor (58790.5)     		tx = 58790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236621856689453 × 217)
    floor (0.236621856689453 × 131072)
    floor (31014.5)     		ty = 31014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58790 / 31014 ti = "17/58790/31014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58790/31014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58790 ÷ 217
    58790 ÷ 131072     		x = 0.448532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31014 ÷ 217
    31014 ÷ 131072     		y = 0.236618041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448532104492188 × 2 - 1) × π
    -0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236618041992188 × 2 - 1) × π
    0.526763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65487764868358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32338232} λ = -0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65487764868358))-π/2
    2×atan(5.23243968712825)-π/2
    2×1.3819580276562-π/2
    2.76391605531239-1.57079632675     		φ = 1.19311973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19311973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.360725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58790 KachelY 31014 -0.32338232 1.19311973 -18.528442 68.360725
    Oben rechts KachelX + 1 58791 KachelY 31014 -0.32333439 1.19311973 -18.525696 68.360725
    Unten links KachelX 58790 KachelY + 1 31015 -0.32338232 1.19310205 -18.528442 68.359712
    Unten rechts KachelX + 1 58791 KachelY + 1 31015 -0.32333439 1.19310205 -18.525696 68.359712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19311973-1.19310205) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19311973-1.19310205) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(1.19311973) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368761807812024 × 6371000     		do = 112.605854219888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(1.19310205) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368778241737401 × 6371000     		du = 112.610872516702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19311973)-sin(1.19310205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368761807812024-0.368778241737401)×R²
    abs(-0.32333439--0.32338232)×1.64339253775347e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64339253775347e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64339253775347e-05×40589641000000     		ar = 12684.124972162m²