Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58790 / 31011
↖ ↑ ↗
← N 68.363763°
W 18.528442°		 ← 112.59 m → N 68.363763°
W 18.525696°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
N 68.362750°
W 18.528442°		 ← 112.60 m →
12 682 m²		 N 68.362750°
W 18.525696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448535919189453 y=0.236598968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448535919189453 × 217)
    floor (0.448535919189453 × 131072)
    floor (58790.5)     		tx = 58790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236598968505859 × 217)
    floor (0.236598968505859 × 131072)
    floor (31011.5)     		ty = 31011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58790 / 31011 ti = "17/58790/31011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58790/31011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58790 ÷ 217
    58790 ÷ 131072     		x = 0.448532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31011 ÷ 217
    31011 ÷ 131072     		y = 0.236595153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448532104492188 × 2 - 1) × π
    -0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236595153808594 × 2 - 1) × π
    0.526809692382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.65502145938244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32338232} λ = -0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65502145938244))-π/2
    2×atan(5.23319222204639)-π/2
    2×1.38198454183074-π/2
    2.76396908366149-1.57079632675     		φ = 1.19317276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19317276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.363763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58790 KachelY 31011 -0.32338232 1.19317276 -18.528442 68.363763
    Oben rechts KachelX + 1 58791 KachelY 31011 -0.32333439 1.19317276 -18.525696 68.363763
    Unten links KachelX 58790 KachelY + 1 31012 -0.32338232 1.19315508 -18.528442 68.362750
    Unten rechts KachelX + 1 58791 KachelY + 1 31012 -0.32333439 1.19315508 -18.525696 68.362750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19317276-1.19315508) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19317276-1.19315508) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(1.19317276) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368712514639736 × 6371000     		do = 112.590801956733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32338232--0.32333439) × cos(1.19315508) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.368728948910838 × 6371000     		du = 112.595820359118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19317276)-sin(1.19315508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368712514639736-0.368728948910838)×R²
    abs(-0.32333439--0.32338232)×1.64342711022614e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64342711022614e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64342711022614e-05×40589641000000     		ar = 12682.4295018552m²