Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58789 / 46113
↖ ↑ ↗
← N 46.978378°
W 18.531189°		 ← 208.38 m → N 46.978378°
W 18.528442°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
N 46.976504°
W 18.531189°		 ← 208.39 m →
43 427 m²		 N 46.976504°
W 18.528442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448528289794922 y=0.351818084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448528289794922 × 217)
    floor (0.448528289794922 × 131072)
    floor (58789.5)     		tx = 58789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351818084716797 × 217)
    floor (0.351818084716797 × 131072)
    floor (46113.5)     		ty = 46113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58789 / 46113 ti = "17/58789/46113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58789/46113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58789 ÷ 217
    58789 ÷ 131072     		x = 0.448524475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46113 ÷ 217
    46113 ÷ 131072     		y = 0.351814270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448524475097656 × 2 - 1) × π
    -0.102951049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32343026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351814270019531 × 2 - 1) × π
    0.296371459960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.931078401320351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32343026} λ = -0.32343026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931078401320351))-π/2
    2×atan(2.53724386994432)-π/2
    2×1.1953618541258-π/2
    2.3907237082516-1.57079632675     		φ = 0.81992738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32343026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.531189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81992738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.978378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58789 KachelY 46113 -0.32343026 0.81992738 -18.531189 46.978378
    Oben rechts KachelX + 1 58790 KachelY 46113 -0.32338232 0.81992738 -18.528442 46.978378
    Unten links KachelX 58789 KachelY + 1 46114 -0.32343026 0.81989467 -18.531189 46.976504
    Unten rechts KachelX + 1 58790 KachelY + 1 46114 -0.32338232 0.81989467 -18.528442 46.976504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81992738-0.81989467) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81992738-0.81989467) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32343026--0.32338232) × cos(0.81992738) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682274301298819 × 6371000     		do = 208.384133357279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32343026--0.32338232) × cos(0.81989467) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682298215093296 × 6371000     		du = 208.391437245654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81992738)-sin(0.81989467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682274301298819-0.682298215093296)×R²
    abs(-0.32338232--0.32343026)×2.39137944768597e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39137944768597e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39137944768597e-05×40589641000000     		ar = 43427.0579607371m²