Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58789 / 30035
↖ ↑ ↗
← N 69.330926°
W 18.531189°		 ← 107.81 m → N 69.330926°
W 18.528442°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 69.329957°
W 18.531189°		 ← 107.81 m →
11 621 m²		 N 69.329957°
W 18.528442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448528289794922 y=0.229152679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448528289794922 × 217)
    floor (0.448528289794922 × 131072)
    floor (58789.5)     		tx = 58789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229152679443359 × 217)
    floor (0.229152679443359 × 131072)
    floor (30035.5)     		ty = 30035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58789 / 30035 ti = "17/58789/30035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58789/30035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58789 ÷ 217
    58789 ÷ 131072     		x = 0.448524475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30035 ÷ 217
    30035 ÷ 131072     		y = 0.229148864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448524475097656 × 2 - 1) × π
    -0.102951049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32343026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229148864746094 × 2 - 1) × π
    0.541702270507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.70180787341161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32343026} λ = -0.32343026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70180787341161))-π/2
    2×atan(5.48385254660851)-π/2
    2×1.39042463586591-π/2
    2.78084927173182-1.57079632675     		φ = 1.21005294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32343026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.531189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21005294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.330926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58789 KachelY 30035 -0.32343026 1.21005294 -18.531189 69.330926
    Oben rechts KachelX + 1 58790 KachelY 30035 -0.32338232 1.21005294 -18.528442 69.330926
    Unten links KachelX 58789 KachelY + 1 30036 -0.32343026 1.21003602 -18.531189 69.329957
    Unten rechts KachelX + 1 58790 KachelY + 1 30036 -0.32338232 1.21003602 -18.528442 69.329957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21005294-1.21003602) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21005294-1.21003602) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32343026--0.32338232) × cos(1.21005294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352969869213538 × 6371000     		do = 107.806083502302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32343026--0.32338232) × cos(1.21003602) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352985700101951 × 6371000     		du = 107.810918663111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21005294)-sin(1.21003602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352969869213538-0.352985700101951)×R²
    abs(-0.32338232--0.32343026)×1.58308884133374e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58308884133374e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58308884133374e-05×40589641000000     		ar = 11621.467490074m²