Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58788 / 46121
↖ ↑ ↗
← N 46.963385°
W 18.533936°		 ← 208.44 m → N 46.963385°
W 18.531189°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 46.961511°
W 18.533936°		 ← 208.45 m →
43 453 m²		 N 46.961511°
W 18.531189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448520660400391 y=0.351879119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448520660400391 × 217)
    floor (0.448520660400391 × 131072)
    floor (58788.5)     		tx = 58788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351879119873047 × 217)
    floor (0.351879119873047 × 131072)
    floor (46121.5)     		ty = 46121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58788 / 46121 ti = "17/58788/46121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58788/46121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58788 ÷ 217
    58788 ÷ 131072     		x = 0.448516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46121 ÷ 217
    46121 ÷ 131072     		y = 0.351875305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351875305175781 × 2 - 1) × π
    0.296249389648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.93069490612339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32347820} λ = -0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93069490612339))-π/2
    2×atan(2.53627103565724)-π/2
    2×1.19523101132725-π/2
    2.39046202265451-1.57079632675     		φ = 0.81966570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81966570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.963385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58788 KachelY 46121 -0.32347820 0.81966570 -18.533936 46.963385
    Oben rechts KachelX + 1 58789 KachelY 46121 -0.32343026 0.81966570 -18.531189 46.963385
    Unten links KachelX 58788 KachelY + 1 46122 -0.32347820 0.81963298 -18.533936 46.961511
    Unten rechts KachelX + 1 58789 KachelY + 1 46122 -0.32343026 0.81963298 -18.531189 46.961511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81966570-0.81963298) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dl = 208.459120000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81966570-0.81963298) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dr = 208.459120000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32347820--0.32343026) × cos(0.81966570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682465591212615 × 6371000     		do = 208.442558220514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32347820--0.32343026) × cos(0.81963298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682489506475162 × 6371000     		du = 208.449862557275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81966570)-sin(0.81963298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682465591212615-0.682489506475162)×R²
    abs(-0.32343026--0.32347820)×2.39152625470807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39152625470807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39152625470807e-05×40589641000000     		ar = 43452.5135888306m²