Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58788 / 46108
↖ ↑ ↗
← N 46.987747°
W 18.533936°		 ← 208.35 m → N 46.987747°
W 18.531189°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 46.985874°
W 18.533936°		 ← 208.35 m →
43 406 m²		 N 46.985874°
W 18.531189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448520660400391 y=0.351779937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448520660400391 × 217)
    floor (0.448520660400391 × 131072)
    floor (58788.5)     		tx = 58788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351779937744141 × 217)
    floor (0.351779937744141 × 131072)
    floor (46108.5)     		ty = 46108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58788 / 46108 ti = "17/58788/46108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58788/46108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58788 ÷ 217
    58788 ÷ 131072     		x = 0.448516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46108 ÷ 217
    46108 ÷ 131072     		y = 0.351776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351776123046875 × 2 - 1) × π
    0.29644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.931318085818451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32347820} λ = -0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931318085818451))-π/2
    2×atan(2.5378520808543)-π/2
    2×1.1954436122485-π/2
    2.390887224497-1.57079632675     		φ = 0.82009090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82009090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.987747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58788 KachelY 46108 -0.32347820 0.82009090 -18.533936 46.987747
    Oben rechts KachelX + 1 58789 KachelY 46108 -0.32343026 0.82009090 -18.531189 46.987747
    Unten links KachelX 58788 KachelY + 1 46109 -0.32347820 0.82005820 -18.533936 46.985874
    Unten rechts KachelX + 1 58789 KachelY + 1 46109 -0.32343026 0.82005820 -18.531189 46.985874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82009090-0.82005820) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82009090-0.82005820) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32347820--0.32343026) × cos(0.82009090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682154743313251 × 6371000     		do = 208.347617270823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32347820--0.32343026) × cos(0.82005820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682178653444924 × 6371000     		du = 208.354920040483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82009090)-sin(0.82005820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682154743313251-0.682178653444924)×R²
    abs(-0.32343026--0.32347820)×2.39101316731327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39101316731327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39101316731327e-05×40589641000000     		ar = 43406.1740000667m²