Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58788 / 31012
↖ ↑ ↗
← N 68.362750°
W 18.533936°		 ← 112.62 m → N 68.362750°
W 18.531189°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
N 68.361738°
W 18.533936°		 ← 112.62 m →
12 678 m²		 N 68.361738°
W 18.531189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448520660400391 y=0.236606597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448520660400391 × 217)
    floor (0.448520660400391 × 131072)
    floor (58788.5)     		tx = 58788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236606597900391 × 217)
    floor (0.236606597900391 × 131072)
    floor (31012.5)     		ty = 31012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58788 / 31012 ti = "17/58788/31012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58788/31012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58788 ÷ 217
    58788 ÷ 131072     		x = 0.448516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31012 ÷ 217
    31012 ÷ 131072     		y = 0.236602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236602783203125 × 2 - 1) × π
    0.52679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65497352248282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32347820} λ = -0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65497352248282))-π/2
    2×atan(5.23294136504885)-π/2
    2×1.38197570416637-π/2
    2.76395140833275-1.57079632675     		φ = 1.19315508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19315508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.362750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58788 KachelY 31012 -0.32347820 1.19315508 -18.533936 68.362750
    Oben rechts KachelX + 1 58789 KachelY 31012 -0.32343026 1.19315508 -18.531189 68.362750
    Unten links KachelX 58788 KachelY + 1 31013 -0.32347820 1.19313741 -18.533936 68.361738
    Unten rechts KachelX + 1 58789 KachelY + 1 31013 -0.32343026 1.19313741 -18.531189 68.361738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19315508-1.19313741) × R
    1.76699999998586e-05 × 6371000     		dl = 112.575569999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19315508-1.19313741) × R
    1.76699999998586e-05 × 6371000     		dr = 112.575569999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32347820--0.32343026) × cos(1.19315508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368728948910838 × 6371000     		do = 112.619312080441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32347820--0.32343026) × cos(1.19313741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368745373771378 × 6371000     		du = 112.624328655626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19315508)-sin(1.19313741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368728948910838-0.368745373771378)×R²
    abs(-0.32343026--0.32347820)×1.64248605394879e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64248605394879e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64248605394879e-05×40589641000000     		ar = 12678.4656226083m²