Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58787 / 35731
↖ ↑ ↗
← N 63.051225°
W 18.536682°		 ← 138.42 m → N 63.051225°
W 18.533936°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
N 63.049980°
W 18.536682°		 ← 138.42 m →
19 163 m²		 N 63.049980°
W 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448513031005859 y=0.272609710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448513031005859 × 217)
    floor (0.448513031005859 × 131072)
    floor (58787.5)     		tx = 58787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272609710693359 × 217)
    floor (0.272609710693359 × 131072)
    floor (35731.5)     		ty = 35731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58787 / 35731 ti = "17/58787/35731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58787/35731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58787 ÷ 217
    58787 ÷ 131072     		x = 0.448509216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35731 ÷ 217
    35731 ÷ 131072     		y = 0.272605895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448509216308594 × 2 - 1) × π
    -0.102981567382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32352614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272605895996094 × 2 - 1) × π
    0.454788208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.42875929317577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32352614} λ = -0.32352614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42875929317577))-π/2
    2×atan(4.17351786623716)-π/2
    2×1.33562390326553-π/2
    2.67124780653105-1.57079632675     		φ = 1.10045148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32352614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.536682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10045148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.051225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58787 KachelY 35731 -0.32352614 1.10045148 -18.536682 63.051225
    Oben rechts KachelX + 1 58788 KachelY 35731 -0.32347820 1.10045148 -18.533936 63.051225
    Unten links KachelX 58787 KachelY + 1 35732 -0.32352614 1.10042975 -18.536682 63.049980
    Unten rechts KachelX + 1 58788 KachelY + 1 35732 -0.32347820 1.10042975 -18.533936 63.049980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10045148-1.10042975) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10045148-1.10042975) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32352614--0.32347820) × cos(1.10045148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453193712911128 × 6371000     		do = 138.417025129298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32352614--0.32347820) × cos(1.10042975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453213083188167 × 6371000     		du = 138.422941310497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10045148)-sin(1.10042975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453193712911128-0.453213083188167)×R²
    abs(-0.32347820--0.32352614)×1.93702770388549e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93702770388549e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93702770388549e-05×40589641000000     		ar = 19163.1157863913m²