Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58786 / 31260
↖ ↑ ↗
← N 68.110198°
W 18.539429°		 ← 113.85 m → N 68.110198°
W 18.536682°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
N 68.109174°
W 18.539429°		 ← 113.85 m →
12 969 m²		 N 68.109174°
W 18.536682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448505401611328 y=0.238498687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448505401611328 × 217)
    floor (0.448505401611328 × 131072)
    floor (58786.5)     		tx = 58786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238498687744141 × 217)
    floor (0.238498687744141 × 131072)
    floor (31260.5)     		ty = 31260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58786 / 31260 ti = "17/58786/31260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58786/31260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58786 ÷ 217
    58786 ÷ 131072     		x = 0.448501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31260 ÷ 217
    31260 ÷ 131072     		y = 0.238494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448501586914062 × 2 - 1) × π
    -0.102996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32357407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238494873046875 × 2 - 1) × π
    0.52301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64308517137704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32357407} λ = -0.32357407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64308517137704))-π/2
    2×atan(5.17109865308751)-π/2
    2×1.37977176659288-π/2
    2.75954353318575-1.57079632675     		φ = 1.18874721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32357407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.539429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18874721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.110198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58786 KachelY 31260 -0.32357407 1.18874721 -18.539429 68.110198
    Oben rechts KachelX + 1 58787 KachelY 31260 -0.32352614 1.18874721 -18.536682 68.110198
    Unten links KachelX 58786 KachelY + 1 31261 -0.32357407 1.18872933 -18.539429 68.109174
    Unten rechts KachelX + 1 58787 KachelY + 1 31261 -0.32352614 1.18872933 -18.536682 68.109174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18874721-1.18872933) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18874721-1.18872933) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32357407--0.32352614) × cos(1.18874721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.372822631657934 × 6371000     		do = 113.845875632947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32357407--0.32352614) × cos(1.18872933) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.372839222497311 × 6371000     		du = 113.850941845338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18874721)-sin(1.18872933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372822631657934-0.372839222497311)×R²
    abs(-0.32352614--0.32357407)×1.65908393766068e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65908393766068e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65908393766068e-05×40589641000000     		ar = 12968.8684322619m²