Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58782 / 46157
↖ ↑ ↗
← N 46.895862°
W 18.550415°		 ← 208.71 m → N 46.895862°
W 18.547668°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 46.893986°
W 18.550415°		 ← 208.71 m →
43 547 m²		 N 46.893986°
W 18.547668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448474884033203 y=0.352153778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448474884033203 × 217)
    floor (0.448474884033203 × 131072)
    floor (58782.5)     		tx = 58782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352153778076172 × 217)
    floor (0.352153778076172 × 131072)
    floor (46157.5)     		ty = 46157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58782 / 46157 ti = "17/58782/46157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58782/46157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58782 ÷ 217
    58782 ÷ 131072     		x = 0.448471069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46157 ÷ 217
    46157 ÷ 131072     		y = 0.352149963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448471069335938 × 2 - 1) × π
    -0.103057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32376582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352149963378906 × 2 - 1) × π
    0.295700073242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.928969177737068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32376582} λ = -0.32376582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928969177737068))-π/2
    2×atan(2.53189789524719)-π/2
    2×1.1946417647897-π/2
    2.3892835295794-1.57079632675     		φ = 0.81848720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32376582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.550415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81848720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.895862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58782 KachelY 46157 -0.32376582 0.81848720 -18.550415 46.895862
    Oben rechts KachelX + 1 58783 KachelY 46157 -0.32371788 0.81848720 -18.547668 46.895862
    Unten links KachelX 58782 KachelY + 1 46158 -0.32376582 0.81845445 -18.550415 46.893986
    Unten rechts KachelX + 1 58783 KachelY + 1 46158 -0.32371788 0.81845445 -18.547668 46.893986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81848720-0.81845445) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dl = 208.650250000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81848720-0.81845445) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dr = 208.650250000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32376582--0.32371788) × cos(0.81848720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683326503623692 × 6371000     		do = 208.705503030742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32376582--0.32371788) × cos(0.81845445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683350414455665 × 6371000     		du = 208.712806014291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81848720)-sin(0.81845445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683326503623692-0.683350414455665)×R²
    abs(-0.32371788--0.32376582)×2.39108319731729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39108319731729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39108319731729e-05×40589641000000     		ar = 43547.2172722601m²