Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58779 / 46162
↖ ↑ ↗
← N 46.886478°
W 18.558655°		 ← 208.74 m → N 46.886478°
W 18.555908°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
N 46.884600°
W 18.558655°		 ← 208.75 m →
43 581 m²		 N 46.884600°
W 18.555908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448451995849609 y=0.352191925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448451995849609 × 217)
    floor (0.448451995849609 × 131072)
    floor (58779.5)     		tx = 58779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352191925048828 × 217)
    floor (0.352191925048828 × 131072)
    floor (46162.5)     		ty = 46162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58779 / 46162 ti = "17/58779/46162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58779/46162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58779 ÷ 217
    58779 ÷ 131072     		x = 0.448448181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46162 ÷ 217
    46162 ÷ 131072     		y = 0.352188110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448448181152344 × 2 - 1) × π
    -0.103103637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32390963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352188110351562 × 2 - 1) × π
    0.295623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928729493238968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32390963} λ = -0.32390963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928729493238968))-π/2
    2×atan(2.53129111129219)-π/2
    2×1.1945598662395-π/2
    2.389119732479-1.57079632675     		φ = 0.81832341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32390963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.558655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81832341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.886478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58779 KachelY 46162 -0.32390963 0.81832341 -18.558655 46.886478
    Oben rechts KachelX + 1 58780 KachelY 46162 -0.32386169 0.81832341 -18.555908 46.886478
    Unten links KachelX 58779 KachelY + 1 46163 -0.32390963 0.81829064 -18.558655 46.884600
    Unten rechts KachelX + 1 58780 KachelY + 1 46163 -0.32386169 0.81829064 -18.555908 46.884600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81832341-0.81829064) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81832341-0.81829064) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32390963--0.32386169) × cos(0.81832341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683446079653982 × 6371000     		do = 208.742024628521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32390963--0.32386169) × cos(0.81829064) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683470001419695 × 6371000     		du = 208.749330951516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81832341)-sin(0.81829064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683446079653982-0.683470001419695)×R²
    abs(-0.32386169--0.32390963)×2.39217657134194e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39217657134194e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39217657134194e-05×40589641000000     		ar = 43581.4362354725m²