Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58778 / 31258
↖ ↑ ↗
← N 68.112246°
W 18.561402°		 ← 113.86 m → N 68.112246°
W 18.558655°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
N 68.111222°
W 18.561402°		 ← 113.86 m →
12 963 m²		 N 68.111222°
W 18.558655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448444366455078 y=0.238483428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448444366455078 × 217)
    floor (0.448444366455078 × 131072)
    floor (58778.5)     		tx = 58778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238483428955078 × 217)
    floor (0.238483428955078 × 131072)
    floor (31258.5)     		ty = 31258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58778 / 31258 ti = "17/58778/31258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58778/31258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58778 ÷ 217
    58778 ÷ 131072     		x = 0.448440551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31258 ÷ 217
    31258 ÷ 131072     		y = 0.238479614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448440551757812 × 2 - 1) × π
    -0.103118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32395757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238479614257812 × 2 - 1) × π
    0.523040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64318104517628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32395757} λ = -0.32395757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64318104517628))-π/2
    2×atan(5.1715944497282)-π/2
    2×1.37978963775917-π/2
    2.75957927551833-1.57079632675     		φ = 1.18878295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32395757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.561402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18878295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.112246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58778 KachelY 31258 -0.32395757 1.18878295 -18.561402 68.112246
    Oben rechts KachelX + 1 58779 KachelY 31258 -0.32390963 1.18878295 -18.558655 68.112246
    Unten links KachelX 58778 KachelY + 1 31259 -0.32395757 1.18876508 -18.561402 68.111222
    Unten rechts KachelX + 1 58779 KachelY + 1 31259 -0.32390963 1.18876508 -18.558655 68.111222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18878295-1.18876508) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18878295-1.18876508) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32395757--0.32390963) × cos(1.18878295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372789468179938 × 6371000     		do = 113.859499182989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32395757--0.32390963) × cos(1.18876508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372806049978461 × 6371000     		du = 113.864563691074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18878295)-sin(1.18876508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372789468179938-0.372806049978461)×R²
    abs(-0.32390963--0.32395757)×1.65817985235406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65817985235406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65817985235406e-05×40589641000000     		ar = 12963.1660911102m²