Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58777 / 46131
↖ ↑ ↗
← N 46.944637°
W 18.564148°		 ← 208.47 m → N 46.944637°
W 18.561402°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
N 46.942762°
W 18.564148°		 ← 208.48 m →
43 472 m²		 N 46.942762°
W 18.561402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448436737060547 y=0.351955413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448436737060547 × 217)
    floor (0.448436737060547 × 131072)
    floor (58777.5)     		tx = 58777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351955413818359 × 217)
    floor (0.351955413818359 × 131072)
    floor (46131.5)     		ty = 46131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58777 / 46131 ti = "17/58777/46131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58777/46131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58777 ÷ 217
    58777 ÷ 131072     		x = 0.448432922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46131 ÷ 217
    46131 ÷ 131072     		y = 0.351951599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448432922363281 × 2 - 1) × π
    -0.103134155273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32400550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351951599121094 × 2 - 1) × π
    0.296096801757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.93021553712719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32400550} λ = -0.32400550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93021553712719))-π/2
    2×atan(2.53505551732096)-π/2
    2×1.1950674062465-π/2
    2.39013481249301-1.57079632675     		φ = 0.81933849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32400550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.564148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81933849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.944637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58777 KachelY 46131 -0.32400550 0.81933849 -18.564148 46.944637
    Oben rechts KachelX + 1 58778 KachelY 46131 -0.32395757 0.81933849 -18.561402 46.944637
    Unten links KachelX 58777 KachelY + 1 46132 -0.32400550 0.81930576 -18.564148 46.942762
    Unten rechts KachelX + 1 58778 KachelY + 1 46132 -0.32395757 0.81930576 -18.561402 46.942762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81933849-0.81930576) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dl = 208.522830000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81933849-0.81930576) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dr = 208.522830000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32400550--0.32395757) × cos(0.81933849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.682704718261709 × 6371000     		do = 208.472098659101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32400550--0.32395757) × cos(0.81930576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.682728633522879 × 6371000     		du = 208.4794014718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81933849)-sin(0.81930576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682704718261709-0.682728633522879)×R²
    abs(-0.32395757--0.32400550)×2.39152611701821e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39152611701821e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39152611701821e-05×40589641000000     		ar = 43471.9533940122m²