Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58775 / 45432
↖ ↑ ↗
← N 48.239309°
W 18.569641°		 ← 203.42 m → N 48.239309°
W 18.566894°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 48.237479°
W 18.569641°		 ← 203.43 m →
41 382 m²		 N 48.237479°
W 18.566894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448421478271484 y=0.346622467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448421478271484 × 217)
    floor (0.448421478271484 × 131072)
    floor (58775.5)     		tx = 58775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346622467041016 × 217)
    floor (0.346622467041016 × 131072)
    floor (45432.5)     		ty = 45432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58775 / 45432 ti = "17/58775/45432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58775/45432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58775 ÷ 217
    58775 ÷ 131072     		x = 0.448417663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45432 ÷ 217
    45432 ÷ 131072     		y = 0.34661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448417663574219 × 2 - 1) × π
    -0.103164672851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32410138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34661865234375 × 2 - 1) × π
    0.3067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.963723429961609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32410138} λ = -0.32410138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963723429961609))-π/2
    2×atan(2.62143906900315)-π/2
    2×1.20636554877165-π/2
    2.4127310975433-1.57079632675     		φ = 0.84193477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32410138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.569641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84193477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.239309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58775 KachelY 45432 -0.32410138 0.84193477 -18.569641 48.239309
    Oben rechts KachelX + 1 58776 KachelY 45432 -0.32405344 0.84193477 -18.566894 48.239309
    Unten links KachelX 58775 KachelY + 1 45433 -0.32410138 0.84190284 -18.569641 48.237479
    Unten rechts KachelX + 1 58776 KachelY + 1 45433 -0.32405344 0.84190284 -18.566894 48.237479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84193477-0.84190284) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84193477-0.84190284) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32410138--0.32405344) × cos(0.84193477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666020864302854 × 6371000     		do = 203.419915335005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32410138--0.32405344) × cos(0.84190284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66604468160762 × 6371000     		du = 203.427189752938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84193477)-sin(0.84190284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666020864302854-0.66604468160762)×R²
    abs(-0.32405344--0.32410138)×2.38173047655277e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38173047655277e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38173047655277e-05×40589641000000     		ar = 41381.6457060764m²