Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58775 / 35704
↖ ↑ ↗
← N 63.084814°
W 18.569641°		 ← 138.26 m → N 63.084814°
W 18.566894°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
N 63.083571°
W 18.569641°		 ← 138.26 m →
19 115 m²		 N 63.083571°
W 18.566894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448421478271484 y=0.272403717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448421478271484 × 217)
    floor (0.448421478271484 × 131072)
    floor (58775.5)     		tx = 58775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272403717041016 × 217)
    floor (0.272403717041016 × 131072)
    floor (35704.5)     		ty = 35704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58775 / 35704 ti = "17/58775/35704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58775/35704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58775 ÷ 217
    58775 ÷ 131072     		x = 0.448417663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35704 ÷ 217
    35704 ÷ 131072     		y = 0.27239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448417663574219 × 2 - 1) × π
    -0.103164672851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32410138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27239990234375 × 2 - 1) × π
    0.4552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43005358946552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32410138} λ = -0.32410138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43005358946552))-π/2
    2×atan(4.17892313217986)-π/2
    2×1.33591701759641-π/2
    2.67183403519283-1.57079632675     		φ = 1.10103771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32410138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.569641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10103771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.084814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58775 KachelY 35704 -0.32410138 1.10103771 -18.569641 63.084814
    Oben rechts KachelX + 1 58776 KachelY 35704 -0.32405344 1.10103771 -18.566894 63.084814
    Unten links KachelX 58775 KachelY + 1 35705 -0.32410138 1.10101601 -18.569641 63.083571
    Unten rechts KachelX + 1 58776 KachelY + 1 35705 -0.32405344 1.10101601 -18.566894 63.083571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10103771-1.10101601) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10103771-1.10101601) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32410138--0.32405344) × cos(1.10103771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452671062576283 × 6371000     		do = 138.257394263857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32410138--0.32405344) × cos(1.10101601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452690411873218 × 6371000     		du = 138.263304037192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10103771)-sin(1.10101601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452671062576283-0.452690411873218)×R²
    abs(-0.32405344--0.32410138)×1.93492969349784e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93492969349784e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93492969349784e-05×40589641000000     		ar = 19114.5900530453m²