Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58774 / 31265
↖ ↑ ↗
← N 68.105078°
W 18.572388°		 ← 113.89 m → N 68.105078°
W 18.569641°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
N 68.104053°
W 18.572388°		 ← 113.90 m →
12 974 m²		 N 68.104053°
W 18.569641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448413848876953 y=0.238536834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448413848876953 × 217)
    floor (0.448413848876953 × 131072)
    floor (58774.5)     		tx = 58774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238536834716797 × 217)
    floor (0.238536834716797 × 131072)
    floor (31265.5)     		ty = 31265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58774 / 31265 ti = "17/58774/31265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58774/31265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58774 ÷ 217
    58774 ÷ 131072     		x = 0.448410034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31265 ÷ 217
    31265 ÷ 131072     		y = 0.238533020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448410034179688 × 2 - 1) × π
    -0.103179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32414932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238533020019531 × 2 - 1) × π
    0.522933959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.64284548687894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32414932} λ = -0.32414932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64284548687894))-π/2
    2×atan(5.1698593694267)-π/2
    2×1.379727081721-π/2
    2.759454163442-1.57079632675     		φ = 1.18865784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32414932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.572388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18865784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.105078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58774 KachelY 31265 -0.32414932 1.18865784 -18.572388 68.105078
    Oben rechts KachelX + 1 58775 KachelY 31265 -0.32410138 1.18865784 -18.569641 68.105078
    Unten links KachelX 58774 KachelY + 1 31266 -0.32414932 1.18863996 -18.572388 68.104053
    Unten rechts KachelX + 1 58775 KachelY + 1 31266 -0.32410138 1.18863996 -18.569641 68.104053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18865784-1.18863996) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18865784-1.18863996) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32414932--0.32410138) × cos(1.18865784) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.372905556826738 × 6371000     		do = 113.894955643976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32414932--0.32410138) × cos(1.18863996) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.372922147070289 × 6371000     		du = 113.900022731389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18865784)-sin(1.18863996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372905556826738-0.372922147070289)×R²
    abs(-0.32410138--0.32414932)×1.65902435504961e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65902435504961e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65902435504961e-05×40589641000000     		ar = 12974.4593570556m²