Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58773 / 45358
↖ ↑ ↗
← N 48.374497°
W 18.575134°		 ← 202.84 m → N 48.374497°
W 18.572388°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
N 48.372672°
W 18.575134°		 ← 202.85 m →
41 147 m²		 N 48.372672°
W 18.572388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448406219482422 y=0.346057891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448406219482422 × 217)
    floor (0.448406219482422 × 131072)
    floor (58773.5)     		tx = 58773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346057891845703 × 217)
    floor (0.346057891845703 × 131072)
    floor (45358.5)     		ty = 45358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58773 / 45358 ti = "17/58773/45358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58773/45358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58773 ÷ 217
    58773 ÷ 131072     		x = 0.448402404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45358 ÷ 217
    45358 ÷ 131072     		y = 0.346054077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448402404785156 × 2 - 1) × π
    -0.103195190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32419725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346054077148438 × 2 - 1) × π
    0.307891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.967270760533493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32419725} λ = -0.32419725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967270760533493))-π/2
    2×atan(2.63075469298519)-π/2
    2×1.20754528424014-π/2
    2.41509056848029-1.57079632675     		φ = 0.84429424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32419725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.575134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84429424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.374497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58773 KachelY 45358 -0.32419725 0.84429424 -18.575134 48.374497
    Oben rechts KachelX + 1 58774 KachelY 45358 -0.32414932 0.84429424 -18.572388 48.374497
    Unten links KachelX 58773 KachelY + 1 45359 -0.32419725 0.84426240 -18.575134 48.372672
    Unten rechts KachelX + 1 58774 KachelY + 1 45359 -0.32414932 0.84426240 -18.572388 48.372672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84429424-0.84426240) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84429424-0.84426240) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32419725--0.32414932) × cos(0.84429424) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664259005233865 × 6371000     		do = 202.839478283883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32419725--0.32414932) × cos(0.84426240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664282805376464 × 6371000     		du = 202.846745943741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84429424)-sin(0.84426240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664259005233865-0.664282805376464)×R²
    abs(-0.32414932--0.32419725)×2.3800142599506e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3800142599506e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3800142599506e-05×40589641000000     		ar = 41147.2608015085m²