Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58771 / 31333
↖ ↑ ↗
← N 68.035325°
W 18.580628°		 ← 114.24 m → N 68.035325°
W 18.577881°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 68.034298°
W 18.580628°		 ← 114.24 m →
13 050 m²		 N 68.034298°
W 18.577881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448390960693359 y=0.239055633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448390960693359 × 217)
    floor (0.448390960693359 × 131072)
    floor (58771.5)     		tx = 58771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239055633544922 × 217)
    floor (0.239055633544922 × 131072)
    floor (31333.5)     		ty = 31333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58771 / 31333 ti = "17/58771/31333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58771/31333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58771 ÷ 217
    58771 ÷ 131072     		x = 0.448387145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31333 ÷ 217
    31333 ÷ 131072     		y = 0.239051818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448387145996094 × 2 - 1) × π
    -0.103225708007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32429313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239051818847656 × 2 - 1) × π
    0.521896362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.63958577770478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32429313} λ = -0.32429313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63958577770478))-π/2
    2×atan(5.1530345682883)-π/2
    2×1.37911837996282-π/2
    2.75823675992563-1.57079632675     		φ = 1.18744043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32429313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.580628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18744043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.035325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58771 KachelY 31333 -0.32429313 1.18744043 -18.580628 68.035325
    Oben rechts KachelX + 1 58772 KachelY 31333 -0.32424519 1.18744043 -18.577881 68.035325
    Unten links KachelX 58771 KachelY + 1 31334 -0.32429313 1.18742250 -18.580628 68.034298
    Unten rechts KachelX + 1 58772 KachelY + 1 31334 -0.32424519 1.18742250 -18.577881 68.034298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18744043-1.18742250) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18744043-1.18742250) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32429313--0.32424519) × cos(1.18744043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37403487757812 × 6371000     		do = 114.239879270032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32429313--0.32424519) × cos(1.18742250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374051506062451 × 6371000     		du = 114.244958037164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18744043)-sin(1.18742250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37403487757812-0.374051506062451)×R²
    abs(-0.32424519--0.32429313)×1.66284843311493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66284843311493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66284843311493e-05×40589641000000     		ar = 13050.1433953898m²