Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58770 / 29348
↖ ↑ ↗
← N 69.986775°
W 18.583374°		 ← 104.51 m → N 69.986775°
W 18.580628°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
N 69.985836°
W 18.583374°		 ← 104.51 m →
10 920 m²		 N 69.985836°
W 18.580628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448383331298828 y=0.223911285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448383331298828 × 217)
    floor (0.448383331298828 × 131072)
    floor (58770.5)     		tx = 58770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223911285400391 × 217)
    floor (0.223911285400391 × 131072)
    floor (29348.5)     		ty = 29348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58770 / 29348 ti = "17/58770/29348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58770/29348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58770 ÷ 217
    58770 ÷ 131072     		x = 0.448379516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29348 ÷ 217
    29348 ÷ 131072     		y = 0.223907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448379516601562 × 2 - 1) × π
    -0.103240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32434106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223907470703125 × 2 - 1) × π
    0.55218505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73474052345059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32434106} λ = -0.32434106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73474052345059))-π/2
    2×atan(5.66745704080211)-π/2
    2×1.39614799491805-π/2
    2.7922959898361-1.57079632675     		φ = 1.22149966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32434106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.583374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22149966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.986775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58770 KachelY 29348 -0.32434106 1.22149966 -18.583374 69.986775
    Oben rechts KachelX + 1 58771 KachelY 29348 -0.32429313 1.22149966 -18.580628 69.986775
    Unten links KachelX 58770 KachelY + 1 29349 -0.32434106 1.22148326 -18.583374 69.985836
    Unten rechts KachelX + 1 58771 KachelY + 1 29349 -0.32429313 1.22148326 -18.580628 69.985836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22149966-1.22148326) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22149966-1.22148326) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32434106--0.32429313) × cos(1.22149966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		do = 104.50619442879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32434106--0.32429313) × cos(1.22148326) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342252440294947 × 6371000     		du = 104.510899940983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22149966)-sin(1.22148326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342237030677081-0.342252440294947)×R²
    abs(-0.32429313--0.32434106)×1.54096178664465e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54096178664465e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54096178664465e-05×40589641000000     		ar = 10919.5128476785m²