Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58769 / 45371
↖ ↑ ↗
← N 48.350773°
W 18.586121°		 ← 202.98 m → N 48.350773°
W 18.583374°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
N 48.348948°
W 18.586121°		 ← 202.98 m →
41 201 m²		 N 48.348948°
W 18.583374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448375701904297 y=0.346157073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448375701904297 × 217)
    floor (0.448375701904297 × 131072)
    floor (58769.5)     		tx = 58769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346157073974609 × 217)
    floor (0.346157073974609 × 131072)
    floor (45371.5)     		ty = 45371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58769 / 45371 ti = "17/58769/45371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58769/45371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58769 ÷ 217
    58769 ÷ 131072     		x = 0.448371887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45371 ÷ 217
    45371 ÷ 131072     		y = 0.346153259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448371887207031 × 2 - 1) × π
    -0.103256225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32438900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346153259277344 × 2 - 1) × π
    0.307693481445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.966647580838432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32438900} λ = -0.32438900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966647580838432))-π/2
    2×atan(2.62911577080239)-π/2
    2×1.20733825966907-π/2
    2.41467651933814-1.57079632675     		φ = 0.84388019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32438900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.586121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84388019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.350773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58769 KachelY 45371 -0.32438900 0.84388019 -18.586121 48.350773
    Oben rechts KachelX + 1 58770 KachelY 45371 -0.32434106 0.84388019 -18.583374 48.350773
    Unten links KachelX 58769 KachelY + 1 45372 -0.32438900 0.84384833 -18.586121 48.348948
    Unten rechts KachelX + 1 58770 KachelY + 1 45372 -0.32434106 0.84384833 -18.583374 48.348948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84388019-0.84384833) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84388019-0.84384833) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32438900--0.32434106) × cos(0.84388019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664568451691978 × 6371000     		do = 202.976311138543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32438900--0.32434106) × cos(0.84384833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664592258019345 × 6371000     		du = 202.983582203696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84388019)-sin(0.84384833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664568451691978-0.664592258019345)×R²
    abs(-0.32434106--0.32438900)×2.38063273668709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38063273668709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38063273668709e-05×40589641000000     		ar = 41200.8817574904m²