Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58767 / 46159
↖ ↑ ↗
← N 46.892109°
W 18.591614°		 ← 208.68 m → N 46.892109°
W 18.588867°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
N 46.890232°
W 18.591614°		 ← 208.68 m →
43 554 m²		 N 46.890232°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448360443115234 y=0.352169036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448360443115234 × 217)
    floor (0.448360443115234 × 131072)
    floor (58767.5)     		tx = 58767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352169036865234 × 217)
    floor (0.352169036865234 × 131072)
    floor (46159.5)     		ty = 46159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58767 / 46159 ti = "17/58767/46159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58767/46159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58767 ÷ 217
    58767 ÷ 131072     		x = 0.448356628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46159 ÷ 217
    46159 ÷ 131072     		y = 0.352165222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448356628417969 × 2 - 1) × π
    -0.103286743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32448487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352165222167969 × 2 - 1) × π
    0.295669555664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.928873303937828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32448487} λ = -0.32448487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928873303937828))-π/2
    2×atan(2.53165516421264)-π/2
    2×1.19460900708932-π/2
    2.38921801417865-1.57079632675     		φ = 0.81842169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32448487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.591614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81842169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.892109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58767 KachelY 46159 -0.32448487 0.81842169 -18.591614 46.892109
    Oben rechts KachelX + 1 58768 KachelY 46159 -0.32443694 0.81842169 -18.588867 46.892109
    Unten links KachelX 58767 KachelY + 1 46160 -0.32448487 0.81838893 -18.591614 46.890232
    Unten rechts KachelX + 1 58768 KachelY + 1 46160 -0.32443694 0.81838893 -18.588867 46.890232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81842169-0.81838893) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dl = 208.713959999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81842169-0.81838893) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dr = 208.713959999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32448487--0.32443694) × cos(0.81842169) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683374331855384 × 6371000     		do = 208.67657322514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32448487--0.32443694) × cos(0.81838893) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683398248521694 × 6371000     		du = 208.683876466915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81842169)-sin(0.81838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683374331855384-0.683398248521694)×R²
    abs(-0.32443694--0.32448487)×2.39166663094093e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39166663094093e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39166663094093e-05×40589641000000     		ar = 43554.4761050701m²