Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58767 / 31241
↖ ↑ ↗
← N 68.129645°
W 18.591614°		 ← 113.75 m → N 68.129645°
W 18.588867°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 68.128622°
W 18.591614°		 ← 113.75 m →
12 943 m²		 N 68.128622°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448360443115234 y=0.238353729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448360443115234 × 217)
    floor (0.448360443115234 × 131072)
    floor (58767.5)     		tx = 58767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238353729248047 × 217)
    floor (0.238353729248047 × 131072)
    floor (31241.5)     		ty = 31241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58767 / 31241 ti = "17/58767/31241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58767/31241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58767 ÷ 217
    58767 ÷ 131072     		x = 0.448356628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31241 ÷ 217
    31241 ÷ 131072     		y = 0.238349914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448356628417969 × 2 - 1) × π
    -0.103286743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32448487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238349914550781 × 2 - 1) × π
    0.523300170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.64399597246983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32448487} λ = -0.32448487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64399597246983))-π/2
    2×atan(5.17581064090771)-π/2
    2×1.37994147849649-π/2
    2.75988295699298-1.57079632675     		φ = 1.18908663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32448487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.591614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18908663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.129645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58767 KachelY 31241 -0.32448487 1.18908663 -18.591614 68.129645
    Oben rechts KachelX + 1 58768 KachelY 31241 -0.32443694 1.18908663 -18.588867 68.129645
    Unten links KachelX 58767 KachelY + 1 31242 -0.32448487 1.18906877 -18.591614 68.128622
    Unten rechts KachelX + 1 58768 KachelY + 1 31242 -0.32443694 1.18906877 -18.588867 68.128622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18908663-1.18906877) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18908663-1.18906877) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32448487--0.32443694) × cos(1.18908663) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.372507661478611 × 6371000     		do = 113.749695699599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32448487--0.32443694) × cos(1.18906877) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.37252423601923 × 6371000     		du = 113.754756934969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18908663)-sin(1.18906877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372507661478611-0.37252423601923)×R²
    abs(-0.32443694--0.32448487)×1.65745406189299e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65745406189299e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65745406189299e-05×40589641000000     		ar = 12943.4176492016m²